TIDAK ADA ALGORITMA YANG DAPAT MENGENALI SEBAGIAN BENTUK EMPAT DIMENSI

Sebagian pertanyaan tidak memiliki resep. Bukan karena belum ada yang menemukannya, melainkan karena telah dibuktikan bahwa tidak ada algoritma — tidak ada prosedur langkah demi langkah, sepanjang apa pun, yang dijalankan di komputer mana pun — yang dapat menjawabnya dengan benar setiap kali. Cameron McA. Gordon, di University of Texas at Austin, menambahkan dua pertanyaan semacam itu tentang bentuk-bentuk empat dimensi.

Apakah ini bentuk yang sama?

Para matematikawan menyebut bentuk-bentuk ini manifold-4 (4-manifolds): ruang yang, jika dilihat dari dekat, di mana-mana tampak seperti ruang empat dimensi biasa. Untuk menyerahkannya kepada komputer, makalah itu mengasumsikan bahwa bentuk-bentuk itu dibangun dari kepingan-kepingan datar yang direkatkan (“linear sepotong-sepotong”, atau PL, dari piecewise linear), sehingga masing-masing dapat dideskripsikan dengan daftar data yang terhingga. Pertanyaan dasarnya kemudian: jika diberikan dua bentuk semacam itu, apakah keduanya sama, hingga deformasi kontinu?

Pada 1958, A. A. Markov menunjukkan bahwa pertanyaan ini tidak memiliki algoritma. Bukti Markov mengubah soal bentuk menjadi soal tentang grup: ada grup-grup, yang didefinisikan oleh aturan-aturan yang banyaknya terhingga, yang untuknya tidak ada algoritma yang dapat memutuskan apakah suatu kombinasi unsur-unsurnya sama dengan identitas — “soal kata” (word problem). Dari grup semacam itu, dapat dibangun bentuk-bentuk yang hanya dapat dibedakan oleh sebuah algoritma dengan memecahkan soal yang mustahil itu.

Hitung mundur menuju tujuh

Argumen Markov bahkan memusatkan kesulitan itu pada bentuk-bentuk tertentu. Ambil S², permukaan sebuah bola biasa, lalu bentuk hasil kali S² × S², sebuah bentuk empat dimensi. Rekatkan k salinannya menjadi satu (sebuah “jumlah terhubung”, ditulis #k). Untuk suatu k, tidak ada algoritma yang dapat memutuskan apakah sebuah bentuk yang diberikan adalah #k(S² × S²). Berapa k-nya?

Makalah itu menelusuri hitung mundurnya. Sebuah grup dengan soal kata yang tak terpecahkan dan 12 aturan, yang ditemukan oleh Borisov pada 1969, menghasilkan 14 salinan. Gordon menurunkannya menjadi 12 pada 2022. M. Tancer menemukan rute baru, melalui klasifikasi Freedman atas bentuk-bentuk empat dimensi, dan mencapai 9 dalam versi “topologis”, yang bentuk-bentuknya tidak harus dibangun dari kepingan-kepingan datar. Versi sebelumnya dari karya ini mencapai 8. Kemudian Kegel, Li, dan Ren membangun grup tak terpecahkan yang jauh lebih kecil — 3 pembangkit dan 9 aturan — dan mencapai 7 dalam versi topologis serta 9 dalam versi kepingan datar.

Gordon membuat rute Tancer berhasil juga untuk bentuk-bentuk yang dibangun dari kepingan-kepingan datar, dan membuktikan:

Tidak ada algoritma untuk memutuskan apakah sebuah manifold-4 yang diberikan sama, keping demi keping, dengan jumlah terhubung dari 7 salinan S² × S².

Inti bukti itu adalah sebuah kamus. Untuk setiap kata w dalam grup Kegel, Li, dan Ren, Gordon membangun sebuah bentuk empat dimensi. Jika w sama dengan identitas, serangkaian langkah yang diizinkan pada aturan-aturannya — langkah Andrews-Curtis, yang menulis ulang deskripsinya tanpa mengubah bentuknya — menunjukkan bahwa bentuk itu tepat tujuh salinan S² × S². Jika tidak, bentuk itu memuat simpal (loop) yang tidak dapat dikerutkan menjadi satu titik — hal yang tidak pernah terjadi pada tujuh salinan S² × S² — sehingga bentuk itu tidak mungkin berupa ketujuh salinan itu. Karena itu, sebuah algoritma yang mengenali #7(S² × S²) akan memecahkan soal kata, dan hal itu mustahil.

Bola yang terikat simpul

Pertanyaan kedua menyangkut simpul. Simpul biasa adalah sebuah lingkaran yang terikat di ruang tiga dimensi, dan memutuskan apakah sebuah simpul dapat diurai adalah hal yang mungkin: ada algoritmanya, berkat Haken. Satu dimensi lebih tinggi, sebuah bola dua dimensi dapat terikat simpul di dalam ruang empat dimensi. Dalam dimensi yang lebih tinggi, soal yang bersesuaian diketahui tidak memiliki algoritma. Untuk bola dua dimensi di dalam bola empat dimensi S⁴, tidak ada yang tahu.

Gordon membuktikan bahwa di dalam #7(S² × S²), tidak ada algoritma untuk memutuskan apakah sebuah bola dua dimensi — atau permukaan apa pun, terorientasi maupun tidak — tidak terikat simpul. Dalam prosesnya, makalah itu membangun sebuah bola di dalam bentuk itu yang ruang di sekitarnya memiliki grup dengan soal kata yang tak terpecahkan, dan, di dalam 12 salinan S² × S², sebuah bola yang grupnya memuat salinan dari setiap grup yang dapat dideskripsikan oleh komputer.

Hadiahnya: nol salinan

Makalah itu menyatakan tujuannya dengan gamblang: menurunkan banyaknya salinan hingga nol. Nol salinan berarti bola empat dimensi S⁴ itu sendiri. Dalam lima dimensi atau lebih, tidak ada algoritma yang dapat mengenali bola; dalam dua dan tiga dimensi, ada. Empat dimensi masih terbuka — begitu pula pertanyaan apakah bola yang terikat simpul di dalam S⁴ dapat dideteksi. Setiap salinan yang dihapus membawa kedua pertanyaan itu lebih dekat.