काही चतुर्मितीय आकार कोणताही अल्गोरिदम ओळखू शकत नाही

काही प्रश्नांना कोणतीही कृती नसते. कोणाला ती अद्याप सापडली नाही म्हणून नव्हे, तर हे सिद्ध झाले आहे म्हणून, की कोणताही अल्गोरिदम — कोणत्याही संगणकावर चालवलेली कोणतीही टप्प्याटप्प्याची प्रक्रिया, ती कितीही लांबलचक असो — त्यांची उत्तरे प्रत्येक वेळी अचूक देऊ शकत नाही. ऑस्टिनमधील टेक्सस विद्यापीठातील Cameron McA. Gordon चतुर्मितीय आकारांबद्दलच्या अशा दोन प्रश्नांची यात भर घालतात.

हा तोच आकार आहे का?

गणितज्ञ अशा आकारांना 4-मॅनिफोल्ड (4-manifolds) म्हणतात: असे अवकाश, जे जवळून पाहिल्यास सर्वत्र सामान्य चतुर्मितीय अवकाशासारखे दिसतात. ते संगणकाला देता यावेत म्हणून, शोधनिबंध असे गृहीत धरतो की ते सपाट तुकडे एकत्र जोडून बनवलेले आहेत (“piecewise linear”, किंवा PL), जेणेकरून प्रत्येकाचे वर्णन माहितीच्या एका मर्यादित यादीने करता येते. मग मूलभूत प्रश्न असा: असे दोन आकार दिले, तर सलग विरूपणापर्यंत (continuous deformation) ते एकच आहेत का?

1958 मध्ये, A. A. Markov यांनी दाखवले की या प्रश्नासाठी कोणताही अल्गोरिदम नाही. Markov यांचा पुरावा आकारांच्या प्रश्नाचे रूपांतर गटांबद्दलच्या (groups) प्रश्नात करतो: मर्यादित संख्येच्या नियमांनी व्याख्यित असे गट अस्तित्वात आहेत, ज्यांच्या घटकांचे एखादे दिलेले संयोजन एकक घटकाइतके (identity) आहे का, हे कोणताही अल्गोरिदम ठरवू शकत नाही — हाच तो “शब्द प्रश्न” (word problem). अशा गटापासून असे आकार बनवता येतात, जे एखादा अल्गोरिदम केवळ तो अशक्य प्रश्न सोडवूनच एकमेकांपासून वेगळे ओळखू शकेल.

सातपर्यंत उलटी गणती

Markov यांचा युक्तिवाद ही अडचण विशिष्ट आकारांपर्यंत नेमकी पोहोचवतो. S² घ्या, म्हणजे एका सामान्य चेंडूचा पृष्ठभाग, आणि त्याचा गुणाकार S² × S² बनवा, जो एक चतुर्मितीय आकार आहे. त्याच्या k प्रती एकत्र जोडा (“संलग्न बेरीज”, connected sum, जी #k अशी लिहिली जाते). काही k साठी, दिलेला आकार #k(S² × S²) आहे का, हे कोणताही अल्गोरिदम ठरवू शकत नाही. कोणत्या k साठी?

शोधनिबंध ही उलटी गणती मांडतो. 1969 मध्ये Borisov यांनी शोधलेल्या, न सुटणारा शब्द प्रश्न आणि 12 नियम असलेल्या एका गटामुळे 14 प्रती मिळाल्या. Gordon यांनी 2022 मध्ये ही संख्या 12 वर आणली. M. Tancer यांनी Freedman यांच्या चतुर्मितीय आकारांच्या वर्गीकरणातून एक नवा मार्ग शोधला, आणि “सांस्थितिक” (topological) आवृत्तीत 9 गाठले, जिथे आकार सपाट तुकड्यांपासून बनवलेले असणे आवश्यक नसते. या कामाच्या एका आधीच्या आवृत्तीने 8 गाठले होते. मग Kegel, Li आणि Ren यांनी खूपच लहान न सुटणारा गट बनवला — 3 जनक (generators) आणि 9 नियम — आणि सांस्थितिक आवृत्तीत 7, तर सपाट-तुकड्यांच्या आवृत्तीत 9 गाठले.

Gordon हे Tancer यांचा मार्ग सपाट तुकड्यांपासून बनवलेल्या आकारांसाठीही लागू करून दाखवतात, आणि सिद्ध करतात:

दिलेला 4-मॅनिफोल्ड, तुकड्या-तुकड्याने, S² × S² च्या 7 प्रतींच्या संलग्न बेरजेसारखाच आहे का, हे ठरवणारा कोणताही अल्गोरिदम नाही.

पुराव्याचा गाभा म्हणजे एक शब्दकोश. Kegel, Li आणि Ren यांच्या गटातील प्रत्येक शब्द w साठी, Gordon एक चतुर्मितीय आकार बनवतात. w एकक घटकाइतका असेल, तर नियमांवरील अनुमत चालींची एक मालिका — Andrews-Curtis चाली, ज्या आकार न बदलता त्याचे वर्णन पुन्हा लिहितात — तो आकार नेमका S² × S² च्या सात प्रती आहे हे दाखवते. तसे नसेल, तर त्या आकारात असे पाश (loops) असतात जे आवळून एका बिंदूत आणता येत नाहीत — S² × S² च्या सात प्रतींमध्ये असे कधीच घडत नाही — म्हणून तो आकार त्या सात प्रती असू शकत नाही. म्हणून #7(S² × S²) ओळखणारा अल्गोरिदम शब्द प्रश्न सोडवेल, जे अशक्य आहे.

गाठ असलेले गोल

दुसरा प्रश्न गाठींबद्दल आहे. सामान्य गाठ म्हणजे त्रिमितीय अवकाशात गुंतवलेले एक वर्तुळ, आणि एखादी गाठ सोडवता येते का हे ठरवणे शक्य आहे: त्यासाठी Haken यांनी दिलेला एक अल्गोरिदम आहे. एक मिती वर गेल्यावर, चतुर्मितीय अवकाशात द्विमितीय गोलालाही गाठ असू शकते. उच्च मितींमध्ये, संबंधित प्रश्नासाठी कोणताही अल्गोरिदम नाही हे ज्ञात आहे. चतुर्मितीय गोल S⁴ मधील द्विमितीय गोलांसाठी, कोणालाच माहीत नाही.

Gordon सिद्ध करतात की #7(S² × S²) च्या आत, एखादा द्विमितीय गोल — किंवा कोणताही पृष्ठभाग, अभिमुखनीय (orientable) असो वा नसो — गाठविरहित आहे का, हे ठरवणारा कोणताही अल्गोरिदम नाही. त्या वाटचालीत, शोधनिबंध त्या आकारात असा एक गोल बनवतो ज्याच्या भोवतालच्या अवकाशाच्या गटाचा शब्द प्रश्न न सुटणारा आहे, आणि S² × S² च्या 12 प्रतींमध्ये असा एक गोल, ज्याच्या गटात संगणकाद्वारे वर्णन करता येणाऱ्या प्रत्येक गटाची एक प्रत आहे.

बक्षीस: शून्य प्रती

शोधनिबंध ध्येय स्पष्टपणे मांडतो: प्रतींची संख्या शून्यावर आणणे. शून्य प्रती म्हणजे स्वतः चतुर्मितीय गोल S⁴. पाच आणि त्याहून अधिक मितींमध्ये, कोणताही अल्गोरिदम गोल ओळखू शकत नाही; दोन आणि तीन मितींमध्ये, ते शक्य आहे. चार मितींचा प्रश्न अजून अनुत्तरित आहे — आणि S⁴ मधील गाठ असलेले गोल शोधता येतात का, हा प्रश्नही. कमी केलेली प्रत्येक प्रत दोन्ही प्रश्नांना अधिक जवळ आणते.