HAKUNA ALGORITHIMU INAYOWEZA KUTAMBUA BAADHI YA MAUMBO YA PANDE NNE

Baadhi ya maswali hayana mbinu ya kufuata. Si kwa sababu hakuna aliyeipata bado, bali kwa sababu imethibitishwa kwamba hakuna algorithimu — hakuna utaratibu wa hatua kwa hatua, hata uwe mrefu kiasi gani, unaoendeshwa kwenye kompyuta yoyote — inayoweza kuyajibu kwa usahihi kila mara. Cameron McA. Gordon, wa University of Texas at Austin, anaongeza maswali mawili kama hayo kuhusu maumbo ya pande nne.

Je, hili ni umbo lilelile?

Wanahisabati huyaita maumbo haya namna-anuwai za pande nne (4-manifolds): nafasi ambazo, zikitazamwa kwa karibu, zinaonekana kama nafasi ya kawaida ya pande nne kila mahali. Ili kuyakabidhi kwa kompyuta, makala inadhani yamejengwa kwa vipande bapa vilivyounganishwa pamoja (“piecewise linear”, au PL), ili kila moja liweze kuelezwa kwa orodha yenye kikomo ya data. Swali la msingi basi ni: ukipewa maumbo mawili kama hayo, je, ni sawa, tukiruhusu mgeuko endelevu (continuous deformation)?

Mwaka 1958, A. A. Markov alionyesha kwamba swali hili halina algorithimu. Uthibitisho wa Markov hugeuza tatizo la maumbo kuwa tatizo kuhusu makundi (groups): kuna makundi — mikusanyiko ya operesheni zinazoweza kufuatanishwa na kutenduliwa — yanayofafanuliwa kwa idadi yenye kikomo ya kanuni, ambayo kwayo hakuna algorithimu inayoweza kuamua kama mchanganyiko fulani wa elementi zake, unaoitwa “neno”, ni sawa na utambulisho (identity), elementi isiyofanya chochote — “tatizo la neno” (word problem). Kutokana na kundi kama hilo, mtu anaweza kujenga maumbo ambayo algorithimu ingeweza kuyatofautisha tu kwa kutatua tatizo hilo lisilowezekana.

Kuhesabu kushuka hadi saba

Hoja ya Markov hata hubana ugumu huo kwenye maumbo mahususi. Chukua S², uso wa mpira wa kawaida, na uunde zao S² × S², umbo la pande nne. Unganisha nakala k zake pamoja (“jumla iliyounganishwa”, connected sum, inayoandikwa #k). Kwa baadhi ya k, hakuna algorithimu inayoweza kuamua kama umbo fulani ni #k(S² × S²). Ni k ipi?

Makala inafuatilia hesabu hiyo ya kushuka. Kundi lenye tatizo la neno lisilotatulika na kanuni 12, lililopatikana na Borisov mwaka 1969, lilitoa nakala 14. Gordon alishusha hadi 12 mwaka 2022. M. Tancer alipata njia mpya, kupitia uainishaji wa Freedman wa maumbo ya pande nne, na kufikia 9 katika toleo la “kitopolojia” (topological), ambapo maumbo hayalazimiki kujengwa kwa vipande bapa. Toleo la awali la kazi hii lilifikia 8. Kisha Kegel, Li na Ren walijenga kundi lisilotatulika dogo zaidi sana — jenereta 3 na kanuni 9 — wakifikia 7 katika toleo la kitopolojia na 9 katika lile la vipande bapa.

Gordon anaifanya njia ya Tancer ifanye kazi pia kwa maumbo yaliyojengwa kwa vipande bapa, na anathibitisha:

Hakuna algorithimu ya kuamua kama namna-anuwai ya pande nne (4-manifold) iliyotolewa ni sawa, kipande kwa kipande, na jumla iliyounganishwa ya nakala 7 za S² × S².

Kiini cha uthibitisho ni kamusi. Kwa kila neno w katika kundi la Kegel, Li na Ren, Gordon hujenga umbo la pande nne. Ikiwa w ni sawa na utambulisho, mfuatano wa hatua zinazoruhusiwa kwenye kanuni — hatua za Andrews-Curtis, zinazoandika upya maelezo bila kubadilisha umbo — huonyesha kwamba umbo hilo ni hasa nakala saba za S² × S². Ikiwa si sawa, umbo hilo lina vitanzi visivyoweza kukazwa hadi kuwa nukta — jambo ambalo halitokei kamwe katika nakala saba za S² × S² — kwa hiyo haliwezi kuwa nakala hizo saba. Kwa hiyo algorithimu ambayo ingetambua #7(S² × S²) ingetatua tatizo la neno, jambo lisilowezekana.

Matufe yaliyofungwa fundo

Swali la pili linahusu mafundo. Fundo la kawaida ni duara lililofungwa katika nafasi ya pande tatu, na kuamua kama fundo linaweza kufunguliwa kunawezekana: kuna algorithimu, ya Haken. Ukipanda kipimo kimoja, tufe la pande mbili linaweza kufungwa fundo ndani ya nafasi ya pande nne. Katika vipimo vya juu zaidi, tatizo linalolingana linajulikana kuwa halina algorithimu. Kwa matufe ya pande mbili ndani ya tufe la pande nne S⁴, hakuna anayejua.

Gordon anathibitisha kwamba ndani ya #7(S² × S²), hakuna algorithimu ya kuamua kama tufe la pande mbili — au uso wowote, wenye pande mbili au upande mmoja — halijafungwa fundo. Njiani, makala hujenga tufe katika umbo hilo ambalo nafasi inayolizunguka ina kundi lenye tatizo la neno lisilotatulika, na, katika nakala 12 za S² × S², tufe ambalo kundi lake lina nakala ya kila kundi linaloweza kuelezwa na kompyuta.

Zawadi: nakala sifuri

Makala inaeleza lengo waziwazi: kushusha idadi ya nakala hadi sifuri. Nakala sifuri humaanisha tufe la pande nne S⁴ lenyewe. Katika vipimo vitano na zaidi, hakuna algorithimu inayoweza kutambua tufe; katika vipimo viwili na vitatu, ipo. Pande nne bado ni swali wazi — vivyo hivyo swali la kama matufe yaliyofungwa fundo ndani ya S⁴ yanaweza kugunduliwa. Kila nakala inayoondolewa huyasogeza maswali yote mawili karibu zaidi.