کوئی الگورتھم کچھ چار جہتی شکلوں کو پہچان نہیں سکتا

کچھ سوالوں کا کوئی نسخہ نہیں ہوتا۔ اس لیے نہیں کہ ابھی تک کسی کو ملا نہیں، بلکہ اس لیے کہ یہ ثابت ہو چکا ہے کہ کوئی الگورتھم — کوئی قدم بہ قدم طریقۂ کار، خواہ کتنا ہی طویل ہو اور کسی بھی کمپیوٹر پر چلایا جائے — ان کا ہر بار درست جواب نہیں دے سکتا۔ یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن سے وابستہ Cameron McA. Gordon نے چار جہتی شکلوں کے بارے میں ایسے دو سوالوں کا اضافہ کیا ہے۔

کیا یہ وہی شکل ہے؟

ریاضی دان ان شکلوں کو 4-مینی فولڈ (4-manifolds) کہتے ہیں: ایسی فضائیں جو قریب سے دیکھنے پر ہر جگہ عام چار جہتی فضا جیسی لگتی ہیں۔ انہیں کمپیوٹر کے حوالے کرنے کے لیے، مقالہ فرض کرتا ہے کہ یہ آپس میں جوڑے گئے سپاٹ ٹکڑوں سے بنی ہیں (“ٹکڑوں میں خطی”، piecewise linear، یا PL)، تاکہ ہر ایک کو معلومات کی ایک محدود فہرست سے بیان کیا جا سکے۔ پھر بنیادی سوال یہ ہے: ایسی دو شکلیں دی گئی ہوں، تو کیا وہ مسلسل تغیر (continuous deformation) کی حد تک ایک ہی ہیں؟

1958 میں A. A. Markov نے دکھایا کہ اس سوال کا کوئی الگورتھم نہیں۔ Markov کا ثبوت شکل کے مسئلے کو گروہوں (groups) کے ایک مسئلے میں بدل دیتا ہے: ایسے گروہ موجود ہیں، جو محدود تعداد کے اصولوں سے متعین ہوتے ہیں، جن کے لیے کوئی الگورتھم یہ فیصلہ نہیں کر سکتا کہ ان کے عناصر کا کوئی دیا گیا مجموعہ عنصرِ شناخت (identity) کے برابر ہے یا نہیں — یہ “لفظ کا مسئلہ” (word problem) ہے۔ ایسے گروہ سے ایسی شکلیں بنائی جا سکتی ہیں جنہیں کوئی الگورتھم صرف اسی ناممکن مسئلے کو حل کر کے ہی ایک دوسرے سے الگ پہچان سکتا۔

سات تک الٹی گنتی

Markov کی دلیل اس مشکل کو مخصوص شکلوں تک بھی محدود کر دیتی ہے۔ S² لیں، یعنی ایک عام گیند کی سطح، اور حاصل ضرب S² × S² بنائیں، جو ایک چار جہتی شکل ہے۔ اس کی k نقلیں آپس میں جوڑیں (ایک “مربوط مجموعہ”، connected sum، جسے #k لکھا جاتا ہے)۔ k کی کسی قدر کے لیے، کوئی الگورتھم یہ فیصلہ نہیں کر سکتا کہ کوئی دی گئی شکل #k(S² × S²) ہے یا نہیں۔ کون سا k؟

مقالہ اس الٹی گنتی کا سراغ لگاتا ہے۔ ناقابلِ حل لفظ کے مسئلے اور 12 اصولوں والے ایک گروہ سے، جو Borisov نے 1969 میں دریافت کیا تھا، 14 نقلیں حاصل ہوئیں۔ Gordon نے 2022 میں اسے 12 تک پہنچایا۔ M. Tancer نے Freedman کی چار جہتی شکلوں کی درجہ بندی کے ذریعے ایک نیا راستہ نکالا، اور “ٹوپولوجیکل” (topological) صورت میں، جہاں شکلوں کا سپاٹ ٹکڑوں سے بنا ہونا ضروری نہیں، 9 کا ہندسہ حاصل کیا۔ اس کام کا ایک پہلا نسخہ 8 تک پہنچا تھا۔ پھر Kegel، Li اور Ren نے ایک کہیں چھوٹا ناقابلِ حل گروہ بنایا — 3 مولدات (generators) اور 9 اصول — جس سے ٹوپولوجیکل صورت میں 7 اور سپاٹ ٹکڑوں والی صورت میں 9 حاصل ہوئے۔

Gordon نے Tancer کے راستے کو سپاٹ ٹکڑوں سے بنی شکلوں کے لیے بھی کارآمد بنایا ہے، اور یہ ثابت کیا ہے:

ایسا کوئی الگورتھم نہیں جو یہ فیصلہ کر سکے کہ کوئی دیا گیا 4-مینی فولڈ، ٹکڑا بہ ٹکڑا، S² × S² کی 7 نقلوں کے مربوط مجموعے کے برابر ہے یا نہیں۔

ثبوت کا مرکز ایک لغت ہے۔ Kegel، Li اور Ren کے گروہ کے ہر لفظ w کے لیے، Gordon نے ایک چار جہتی شکل تعمیر کی ہے۔ اگر w عنصرِ شناخت کے برابر ہو، تو اصولوں پر اجازت یافتہ حرکات کا ایک سلسلہ — Andrews-Curtis حرکات، جو شکل کو بدلے بغیر اس کی تفصیل کو ازسرِنو لکھتی ہیں — یہ دکھاتا ہے کہ یہ شکل ٹھیک S² × S² کی سات نقلیں ہے۔ اگر ایسا نہ ہو، تو اس شکل میں ایسے حلقے (loops) ہوتے ہیں جنہیں کس کر ایک نقطے تک نہیں سمیٹا جا سکتا — جو S² × S² کی سات نقلوں میں کبھی نہیں ہوتا — اس لیے وہ یہ سات نقلیں نہیں ہو سکتی۔ لہٰذا جو الگورتھم #7(S² × S²) کو پہچان لے، وہ لفظ کا مسئلہ بھی حل کر دے گا، جو ناممکن ہے۔

گرہ دار کرے

دوسرا سوال گرہوں کے بارے میں ہے۔ ایک عام گرہ تین جہتی فضا میں بندھا ہوا ایک دائرہ ہے، اور یہ فیصلہ کرنا ممکن ہے کہ آیا کسی گرہ کو کھولا جا سکتا ہے: اس کے لیے Haken کا دیا ہوا ایک الگورتھم موجود ہے۔ ایک بُعد اوپر، ایک دو جہتی کرہ چار جہتی فضا کے اندر گرہ دار ہو سکتا ہے۔ بلند تر ابعاد میں، متعلقہ مسئلے کے بارے میں معلوم ہے کہ اس کا کوئی الگورتھم نہیں۔ چار جہتی کرے S⁴ میں دو جہتی کروں کے لیے، کوئی نہیں جانتا۔

Gordon نے ثابت کیا ہے کہ #7(S² × S²) کے اندر، یہ فیصلہ کرنے کا کوئی الگورتھم نہیں کہ کوئی دو جہتی کرہ — یا کوئی بھی سطح، قابلِ سمت بندی (orientable) ہو یا نہ ہو — گرہ سے آزاد (unknotted) ہے یا نہیں۔ اسی راہ میں، مقالہ اس شکل میں ایک ایسا کرہ بناتا ہے جس کے گرد کی فضا کا گروہ ناقابلِ حل لفظ کا مسئلہ رکھتا ہے، اور S² × S² کی 12 نقلوں میں ایک ایسا کرہ بھی جس کے گروہ میں ہر اس گروہ کی ایک نقل موجود ہے جسے کمپیوٹر سے بیان کیا جا سکتا ہو۔

انعام: صفر نقلیں

مقالہ ہدف کو صاف صاف بیان کرتا ہے: نقلوں کی تعداد کو صفر تک لانا۔ صفر نقلوں کا مطلب ہے خود چار جہتی کرہ S⁴۔ پانچ اور اس سے زیادہ ابعاد میں، کوئی الگورتھم کرے کو پہچان نہیں سکتا؛ دو اور تین ابعاد میں، ایک الگورتھم پہچان سکتا ہے۔ چار ابعاد کا معاملہ کھلا ہے — اور یہ سوال بھی کہ کیا S⁴ میں گرہ دار کروں کا سراغ لگایا جا سکتا ہے۔ کم ہونے والی ہر نقل دونوں سوالوں کو مزید قریب لے آتی ہے۔