هیچ الگوریتمی نمی‌تواند برخی شکل‌های چهاربعدی را بازشناسد
برخی پرسش‌ها دستورالعملی ندارند. نه چون هنوز کسی آن را نیافته، بلکه چون ثابت شده است که هیچ الگوریتمی — هیچ روال گام‌به‌گامی، هرچقدر طولانی، روی هر رایانه‌ای — نمی‌تواند هر بار به آن‌ها پاسخ درست بدهد. کامرون گوردون (Cameron McA. Gordon)، در دانشگاه تگزاس در آستین (University of Texas at Austin)، دو پرسش از این دست دربارهٔ شکل‌های چهاربعدی می‌افزاید.
آیا این همان شکل است؟
ریاضی‌دانان این شکل‌ها را 4-خمینه‌ها (4-manifolds) می‌نامند: فضاهایی که از نزدیک، همه‌جا شبیه فضای چهاربعدی معمولی به نظر می‌رسند. برای اینکه بتوان آن‌ها را به رایانه داد، مقاله فرض می‌کند که از قطعه‌های تختِ به‌هم‌چسبیده ساخته شده‌اند («خطی‌تکه‌ای» یا PL، از piecewise linear)، به‌طوری که هر یک را بتوان با فهرستی متناهی از داده‌ها توصیف کرد. آنگاه پرسش پایه این است: با داشتن دو شکل از این دست، آیا آن‌ها، صرف‌نظر از تغییر شکل پیوسته، یکسان‌اند؟
در سال 1958، آ. آ. مارکوف (A. A. Markov) نشان داد که این پرسش هیچ الگوریتمی ندارد. اثبات مارکوف مسئلهٔ شکل‌ها را به مسئله‌ای دربارهٔ گروه‌ها تبدیل می‌کند: گروه‌هایی وجود دارند، تعریف‌شده با شمار متناهی قاعده، که برای آن‌ها هیچ الگوریتمی نمی‌تواند تصمیم بگیرد که آیا ترکیبی معین از عناصرشان برابر عنصر همانی است یا نه — «مسئلهٔ واژه» (word problem). از چنین گروهی می‌توان شکل‌هایی ساخت که یک الگوریتم تنها با حل همان مسئلهٔ ناممکن می‌توانست آن‌ها را از هم تمیز دهد.
شمارش معکوس تا هفت
استدلال مارکوف حتی دشواری را به شکل‌هایی خاص گره می‌زند. S²، سطح یک توپ معمولی، را بگیرید و حاصل‌ضرب S² × S² را بسازید که شکلی چهاربعدی است. k نسخه از آن را به هم بچسبانید (یک «جمع همبند» یا connected sum، که به‌صورت #k نوشته می‌شود). برای برخی k، هیچ الگوریتمی نمی‌تواند تصمیم بگیرد که آیا یک شکل معین #k(S² × S²) است یا نه. کدام k؟
مقاله این شمارش معکوس را دنبال می‌کند. گروهی با مسئلهٔ واژهٔ حل‌ناپذیر و 12 قاعده، که بوریسوف (Borisov) در سال 1969 یافت، به 14 نسخه انجامید. گوردون در سال 2022 آن را به 12 رساند. م. تانسر (M. Tancer) راهی تازه، از طریق رده‌بندی فریدمن (Freedman) برای شکل‌های چهاربعدی، یافت و در حالت «توپولوژیک»، که در آن شکل‌ها لازم نیست از قطعه‌های تخت ساخته شوند، به 9 رسید. ویرایشی پیشین از همین کار به 8 رسیده بود. سپس کگل (Kegel)، لی (Li) و رن (Ren) گروه حل‌ناپذیر بسیار کوچک‌تری ساختند — با 3 مولد و 9 قاعده — و در حالت توپولوژیک به 7 و در حالت قطعه‌های تخت به 9 رسیدند.
گوردون راه تانسر را برای شکل‌های ساخته‌شده از قطعه‌های تخت نیز به کار می‌اندازد و ثابت می‌کند:
هیچ الگوریتمی وجود ندارد که تصمیم بگیرد آیا یک خمینهٔ چهاربعدی معین، قطعه به قطعه، همان جمع همبند 7 نسخه از S² × S² است یا نه.
هستهٔ اثبات یک فرهنگ لغت است. گوردون برای هر واژهٔ w در گروه کگل، لی و رن یک شکل چهاربعدی می‌سازد. اگر w برابر عنصر همانی باشد، دنباله‌ای از حرکت‌های مجاز روی قاعده‌ها — حرکت‌های اندروز‌ـ‌کرتیس (Andrews-Curtis moves)، که توصیف را بی‌آنکه شکل را تغییر دهند بازنویسی می‌کنند — نشان می‌دهد که شکل دقیقاً هفت نسخه از S² × S² است. اگر نباشد، شکل حلقه‌هایی دارد که نمی‌توان آن‌ها را تا یک نقطه جمع کرد — چیزی که هرگز در هفت نسخه از S² × S² رخ نمی‌دهد — پس نمی‌تواند آن هفت نسخه باشد. بنابراین الگوریتمی که #7(S² × S²) را بازمی‌شناخت، مسئلهٔ واژه را حل می‌کرد، که ناممکن است.
کره‌های گره‌خورده
پرسش دوم دربارهٔ گره‌هاست. یک گره معمولی دایره‌ای است که در فضای سه‌بعدی گره خورده است، و تصمیم‌گیری دربارهٔ اینکه آیا می‌توان گرهی را باز کرد ممکن است: الگوریتمی برای آن وجود دارد که از آنِ هاکن (Haken) است. یک بعد بالاتر، یک کرهٔ دوبعدی می‌تواند درون فضای چهاربعدی گره بخورد. در ابعاد بالاتر، معلوم است که مسئلهٔ متناظر هیچ الگوریتمی ندارد. برای کره‌های دوبعدی درون کرهٔ چهاربعدی S⁴، کسی نمی‌داند.
گوردون ثابت می‌کند که درون #7(S² × S²) هیچ الگوریتمی وجود ندارد که تصمیم بگیرد آیا یک کرهٔ دوبعدی — یا هر رویه‌ای، جهت‌پذیر یا نه — گره‌نخورده است. در این مسیر، مقاله در آن شکل کره‌ای می‌سازد که گروه فضای پیرامونش مسئلهٔ واژهٔ حل‌ناپذیر دارد، و در 12 نسخه از S² × S²، کره‌ای که گروهش نسخه‌ای از هر گروهی را در بر دارد که بتوان آن را با رایانه توصیف کرد.
جایزه: صفر نسخه
مقاله هدف را صریح بیان می‌کند: رساندن شمار نسخه‌ها به صفر. صفر نسخه یعنی خود کرهٔ چهاربعدی S⁴. در پنج بعد و بیشتر، هیچ الگوریتمی نمی‌تواند کره را بازشناسد؛ در دو و سه بعد، الگوریتمی هست. چهار بعد همچنان باز است — و همچنین این پرسش که آیا می‌توان کره‌های گره‌خورده را در S⁴ تشخیص داد. هر نسخه‌ای که کم شود، هر دو پرسش را به پاسخ نزدیک‌تر می‌کند.