சில நான்கு பரிமாண வடிவங்களை எந்த வழிமுறையாலும் அடையாளம் காண முடியாது

சில கேள்விகளுக்குச் செய்முறையே இல்லை. இதுவரை யாரும் ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்காததால் அல்ல; மாறாக, எந்த வழிமுறையும் (algorithm) — எவ்வளவு நீளமானதாக இருந்தாலும், எந்தக் கணினியில் இயக்கப்பட்டாலும், படிப்படியான எந்த நடைமுறையும் — அவற்றுக்கு ஒவ்வொரு முறையும் சரியாக விடையளிக்க முடியாது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளதால். University of Texas at Austin-ஐச் சேர்ந்த Cameron McA. Gordon, நான்கு பரிமாண வடிவங்கள் பற்றிய அத்தகைய இரண்டு கேள்விகளைச் சேர்க்கிறார்.

இது அதே வடிவமா?

கணிதவியலாளர்கள் இந்த வடிவங்களை 4-பன்மடிவுகள் (4-manifolds) என்று அழைக்கின்றனர்: அருகிலிருந்து பார்த்தால், எல்லா இடத்திலும் சாதாரண நான்கு பரிமாண வெளியைப் போலத் தோன்றும் வெளிகள். அவற்றை ஒரு கணினியிடம் கொடுப்பதற்காக, அவை ஒன்றாக ஒட்டப்பட்ட தட்டையான துண்டுகளால் கட்டப்பட்டவை (“துண்டுவாரி நேரியல்”, piecewise linear, அல்லது PL) என்று ஆய்வுக்கட்டுரை அனுமானிக்கிறது; இதனால் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு முடிவுள்ள தரவுப் பட்டியலால் விவரிக்க முடியும். அப்போது அடிப்படைக் கேள்வி இதுதான்: அத்தகைய இரண்டு வடிவங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், தொடர்ச்சியான உருமாற்றம் வரை, அவை ஒன்றேவா?

1958-இல், இந்தக் கேள்விக்கு வழிமுறை எதுவும் இல்லை என்று A. A. Markov காட்டினார். Markov-இன் நிரூபணம் வடிவச் சிக்கலைக் குலங்கள் (groups) பற்றிய ஒரு சிக்கலாக மாற்றுகிறது: முடிவுள்ள எண்ணிக்கையிலான விதிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட சில குலங்கள் உள்ளன; அவற்றின் உறுப்புகளின் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சேர்க்கை சமனி உறுப்புக்கு (identity) சமமா என்பதை எந்த வழிமுறையாலும் தீர்மானிக்க முடியாது — இதுவே “சொல் சிக்கல்” (word problem). அத்தகைய ஒரு குலத்திலிருந்து, அந்தச் சாத்தியமற்ற சிக்கலைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மட்டுமே ஒரு வழிமுறை வேறுபடுத்திக் காணக்கூடிய வடிவங்களைக் கட்டமைக்க முடியும்.

ஏழு வரை இறங்கும் எண்ணிக்கை

Markov-இன் வாதம், இந்தக் கடினத்தன்மையைக் குறிப்பிட்ட வடிவங்களுடனும் பிணைக்கிறது. ஒரு சாதாரணப் பந்தின் மேற்பரப்பான S²-ஐ எடுத்து, S² × S² என்ற பெருக்கத்தை உருவாக்குங்கள் — ஒரு நான்கு பரிமாண வடிவம். அதன் k நகல்களை ஒன்றாக ஒட்டுங்கள் (“இணைந்த கூட்டு”, connected sum, #k என எழுதப்படுகிறது). சில k மதிப்புகளுக்கு, கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வடிவம் #k(S² × S²) தானா என்பதை எந்த வழிமுறையாலும் தீர்மானிக்க முடியாது. எந்த k?

ஆய்வுக்கட்டுரை இந்தப் பின்னோக்கிய எண்ணிக்கையை விவரிக்கிறது. 1969-இல் Borisov கண்டறிந்த, தீர்க்க முடியாத சொல் சிக்கலும் 12 விதிகளும் கொண்ட ஒரு குலம், 14 நகல்களைத் தந்தது. 2022-இல் Gordon அதை 12-ஆகக் கொண்டுவந்தார். M. Tancer, நான்கு பரிமாண வடிவங்கள் பற்றிய Freedman-இன் வகைப்பாட்டின் வழியாகப் புதிய பாதை ஒன்றைக் கண்டறிந்து, வடிவங்கள் தட்டையான துண்டுகளால் கட்டப்பட வேண்டியதில்லாத “இடவியல்” (topological) பதிப்பில் 9-ஐ எட்டினார். இந்தப் படைப்பின் முந்தைய பதிப்பு 8-ஐ எட்டியது. பின்னர் Kegel, Li, Ren ஆகியோர் மிகச் சிறிய தீர்க்க முடியாத குலம் ஒன்றை — 3 பிறப்பிகள் (generators), 9 விதிகள் — கட்டமைத்து, இடவியல் பதிப்பில் 7-ஐயும், தட்டைத் துண்டுப் பதிப்பில் 9-ஐயும் எட்டினர்.

Gordon, Tancer-இன் பாதையைத் தட்டையான துண்டுகளால் கட்டப்பட்ட வடிவங்களுக்கும் செயல்பட வைத்து, பின்வருவதை நிரூபிக்கிறார்:

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு 4-பன்மடிவு, S² × S²-இன் 7 நகல்களின் இணைந்த கூட்டுடன், துண்டுக்குத் துண்டு, ஒன்றேதானா என்பதைத் தீர்மானிக்க எந்த வழிமுறையும் இல்லை.

நிரூபணத்தின் மையம் ஓர் அகராதி. Kegel, Li, Ren ஆகியோரின் குலத்திலுள்ள ஒவ்வொரு சொல் w-க்கும், Gordon ஒரு நான்கு பரிமாண வடிவத்தைக் கட்டமைக்கிறார். w சமனி உறுப்புக்குச் சமம் என்றால், விதிகள் மீதான அனுமதிக்கப்பட்ட நகர்வுகளின் ஒரு தொடர் — வடிவத்தை மாற்றாமல் அதன் விவரிப்பை மட்டும் மாற்றி எழுதும் Andrews-Curtis நகர்வுகள் — அந்த வடிவம் சரியாக S² × S²-இன் ஏழு நகல்களே என்று காட்டுகிறது. இல்லையென்றால், அந்த வடிவத்தினுள் ஒரு புள்ளியாகச் சுருக்க முடியாத கண்ணிகள் (loops) உள்ளன — S² × S²-இன் ஏழு நகல்களில் இது ஒருபோதும் நிகழாது — எனவே அது அந்த ஏழு நகல்களாக இருக்க முடியாது. எனவே #7(S² × S²)-ஐ அடையாளம் காணும் ஒரு வழிமுறை, சொல் சிக்கலைத் தீர்த்துவிடும் — அது சாத்தியமற்றது.

முடிச்சிடப்பட்ட கோளங்கள்

இரண்டாவது கேள்வி முடிச்சுகள் பற்றியது. ஒரு சாதாரண முடிச்சு என்பது முப்பரிமாண வெளியில் கட்டப்பட்ட ஒரு வட்டம்; ஒரு முடிச்சை அவிழ்க்க முடியுமா என்பதைத் தீர்மானிப்பது சாத்தியம்: Haken-இன் ஒரு வழிமுறை உள்ளது. ஒரு பரிமாணம் மேலே சென்றால், இரு பரிமாணக் கோளம் ஒன்று நான்கு பரிமாண வெளிக்குள் முடிச்சிடப்படலாம். உயர் பரிமாணங்களில், அதற்கு ஒத்த சிக்கலுக்கு வழிமுறை இல்லை என்று அறியப்பட்டுள்ளது. நான்கு பரிமாணக் கோளம் S⁴-இல் உள்ள இரு பரிமாணக் கோளங்களுக்கு, யாருக்கும் தெரியாது.

#7(S² × S²)-க்குள், ஓர் இரு பரிமாணக் கோளம் — அல்லது திசைகொள்ளக்கூடிய (orientable) அல்லது திசைகொள்ள முடியாத எந்தப் பரப்பும் — முடிச்சற்றதா என்பதைத் தீர்மானிக்க வழிமுறை எதுவும் இல்லை என்று Gordon நிரூபிக்கிறார். வழியில், ஆய்வுக்கட்டுரை அந்த வடிவத்தில் ஒரு கோளத்தைக் கட்டமைக்கிறது — அதைச் சூழ்ந்த வெளியின் குலம் தீர்க்க முடியாத சொல் சிக்கலைக் கொண்டது; மேலும், S² × S²-இன் 12 நகல்களில், கணினியால் விவரிக்கக்கூடிய ஒவ்வொரு குலத்தின் ஒரு நகலையும் தன் குலத்தில் கொண்டிருக்கும் ஒரு கோளத்தையும் கட்டமைக்கிறது.

பரிசு: பூஜ்ஜிய நகல்கள்

ஆய்வுக்கட்டுரை இலக்கை வெளிப்படையாகக் கூறுகிறது: நகல்களின் எண்ணிக்கையைப் பூஜ்ஜியத்துக்குக் கொண்டுவருவது. பூஜ்ஜிய நகல்கள் என்றால் நான்கு பரிமாணக் கோளம் S⁴ தானே. ஐந்து மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில், எந்த வழிமுறையாலும் கோளத்தை அடையாளம் காண முடியாது; இரண்டு, மூன்று பரிமாணங்களில், முடியும். நான்கு பரிமாணங்கள் திறந்தே உள்ளன — S⁴-இல் முடிச்சிடப்பட்ட கோளங்களைக் கண்டறிய முடியுமா என்ற கேள்வியும் அப்படியே. அகற்றப்படும் ஒவ்வொரு நகலும் இரண்டு கேள்விகளையும் நெருங்கச் செய்கிறது.