最初のエースが出るまで、何枚めくる?
このパズルは、ヨステイン・リレストル(Jostein Lillestøl)教授がノルウェー統計学会の会誌『Tilfeldig Gang』(「ランダムウォーク」をもじった言葉遊び)に長く連載してきた頭の体操の一つだ。「エース4枚を含む52枚のトランプを用意する。よく切ってから、最初のエースが出るまで1枚ずつ表にしていく。平均で何枚必要だろうか? 挑戦:いろいろな解き方を見つけよ。」
オスロ大学の統計学者ニルス・リド・ヒョルト(Nils Lid Hjort)は、夏の2日間をバルコニーでこの問題に費やしたという。AIは使わずに。彼の短いエッセイは嘆きから始まる。AIはまもなく、このようなエッセイを「N.L.ヒョルト教授の、ときに華美な文学的文体で」書けるようになるだろうと彼は考えている。それは「魅了されるほど見事だが、それでいて気がかりで心配なこと」だという。
答えは10.6
N枚のカードのうちn枚がエースのとき、最初のエースにたどり着くまでに必要なカードの枚数の平均は次のとおりだ。
(N + 1) / (n + 1)
普通のトランプなら、53 / 5 = 10.6。
ヒョルトはこれをいくつもの方法で証明している。
- 最初のエースが各回に出る正確な確率を計算し、パスカルの三角形にまつわる古典的な恒等式を使って平均をとる。斜めの列に沿って数を足していくと、答えがその1段下、次の行に現れる。たとえば1 + 4 + 10 + 20 = 35となる。この式は「クリスマスの靴下」の公式、あるいは「ホッケースティック」の公式と呼ばれている。
- まだエースが1枚も出ていない確率を足し合わせる。
- なめらかな近似を使う。山札が大きいとき、待ち時間をN + 1で割ったものは既知の曲線(ベータ分布)のようにふるまい、その平均から同じ結果が得られる。
最初のエースが各回に出る確率。正確な値(黒)と近似(赤の破線)はほぼ一致する。— 図1、Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
ほかのエース
1枚目と2枚目のエースの間隔、2枚目と3枚目の間隔、といった間隔はどれも、最初のエースまでの待ち時間と同じ分布に従う。これらは独立ではないが、入れ替え可能(交換可能)である。したがって平均すると、4枚のエースは山札の53個の「すきま」を5つの等しい部分に切り分ける。山札が大きい場合、エースの位置は直線上にランダムに落とした点のようにふるまう。これは現代統計学のより高度な道具とのつながりを示している。
パズルを逆にする
役に立つのは、問いを逆にしたときだ。カードが、あるいは人や動物が何枚・何人・何匹いるのかがわからないとしよう。
- エースが4枚あることはわかっていて、最初のエースが10枚目に出た。山札の枚数の最良の推定値は58枚で、不確かさの幅は大きい。
- 部屋に1000人がいる。1人ずつあいさつしていくと、最初に出会った5人の左利きは10番目、18番目、22番目、39番目、50番目だった。推定は約85人の左利きで、90%信頼区間は33人から172人。実際に意味をもつのは5人目の位置だけである。
1000人の中の左利きの人数の推定。左利きが新たに見つかるたびに推定が鋭くなる(黒い曲線:5人すべてを使った場合)。— 図3、Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
ヒョルトは、統計にまつわる物語を集めた自著の中で、このような「数えられていないものを数える」推論の実際の使い道を挙げている。森にいるハタネズミやシカの数の推定、そして1978年から1995年にかけてグアテマラで殺害された人々の数の推定である。