पहिला एक्का येईपर्यंत किती पत्ते?

हे कोडे प्राध्यापक योस्टाइन लिलेस्टोल यांनी नॉर्वेजियन सांख्यिकी संघटनेच्या Tilfeldig Gang — “यादृच्छिक चाल” (Random Walk) असा अर्थ असलेला शब्दखेळ — या नियतकालिकासाठी लिहिलेल्या डोकेदुखी कोड्यांच्या दीर्घ मालिकेतून आले आहे: “4 एक्क्यांसह 52 पत्त्यांचा कॅट घ्या. नीट पिसा, आणि मग पहिला एक्का दिसेपर्यंत एका वेळी एक पत्ता उलटा. सरासरी किती पत्ते लागतात? आव्हान: वेगवेगळ्या पद्धतींनी उत्तर शोधा.”

ओस्लो विद्यापीठातील सांख्यिकीतज्ज्ञ निल्स लिड युर्त सांगतात की त्यांनी यावर आपल्या बाल्कनीत उन्हाळ्यातले दोन दिवस घालवले — AI शिवाय. त्यांचा छोटा निबंध एका खंतीने सुरू होतो: त्यांना वाटते की लवकरच AI असा निबंध “प्राध्यापक N.L. Hjort यांच्या कधीकधी अलंकारिक होणाऱ्या साहित्यिक शैलीत” लिहू शकेल, जे त्यांना “मंत्रमुग्ध करणारे भव्य — आणि तरीही अस्वस्थ करणारे व चिंताजनक” वाटते.

उत्तर: 10.6

n एक्के असलेल्या N पत्त्यांमध्ये, पहिल्या एक्क्यापर्यंत पोहोचण्यासाठी लागणाऱ्या पत्त्यांची सरासरी संख्या आहे:

(N + 1) / (n + 1)

साध्या कॅटसाठी: 53 / 5 = 10.6.

युर्त हे अनेक प्रकारे सिद्ध करतात:

1. प्रत्येक ओढीत पहिला एक्का येण्याची अचूक संभाव्यता काढून, आणि मग पास्कलच्या त्रिकोणातील एका अभिजात नित्यसमीकरणाच्या मदतीने सरासरी काढून. एका कर्णरेषेवरील संख्यांची बेरीज करा आणि उत्तर एक पायरी खाली, पुढच्या ओळीत दिसते — उदाहरणार्थ 1 + 4 + 10 + 20 = 35. याला “नाताळचा मोजा” किंवा “हॉकी स्टिक” सूत्र असे टोपणनाव आहे.
2. अजून एकही एक्का न आल्याच्या संभाव्यतांची बेरीज करून.
3. एका गुळगुळीत अंदाजाने: मोठ्या कॅटसाठी, प्रतीक्षा-वेळ भागिले N + 1 हे एका ज्ञात वक्रासारखे (बीटा वितरण) वागते, आणि त्याची सरासरी तोच निकाल देते.

प्रत्येक ओढीत पहिला एक्का येण्याची शक्यता: अचूक (काळा) आणि अंदाजित (लाल, तुटक रेषा) जवळजवळ एकरूप आहेत. — आकृती 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

इतर एक्के

पहिल्या आणि दुसऱ्या एक्क्यामधील अंतर, दुसऱ्या आणि तिसऱ्यामधील, आणि असेच पुढे, ही सर्व अंतरे पहिल्या एक्क्याच्या प्रतीक्षेसारखेच समान वितरण पाळतात. ती स्वतंत्र नाहीत, पण परस्पर अदलाबदलयोग्य आहेत. म्हणून सरासरी, चार एक्के कॅटच्या 53 “खाचा” पाच समान भागांत कापतात. मोठ्या कॅटसाठी, एक्क्यांची स्थाने एका रेषेवर यादृच्छिकपणे टाकलेल्या बिंदूंसारखी वागतात — आधुनिक सांख्यिकीच्या अधिक प्रगत साधनांशी एक दुवा.

कोडे उलटे करणे

उपयोगी भाग प्रश्न उलटा केल्यावर येतो. समजा किती पत्ते — किंवा माणसे, किंवा प्राणी — आहेत हे तुम्हाला माहीत नाही.

• तुम्हाला माहीत आहे की 4 एक्के आहेत, आणि पहिला 10 व्या पत्त्यावर येतो. कॅटच्या आकाराचा सर्वोत्तम अंदाज 58 आहे, अनिश्चिततेच्या मोठ्या पल्ल्यासह.
• एका खोलीत 1,000 लोक आहेत. तुम्ही त्यांना एकेक करून अभिवादन करता, आणि तुम्हाला भेटलेले पहिले पाच डावखुरे 10, 18, 22, 39 आणि 50 क्रमांकाचे आहेत. अंदाज: सुमारे 85 डावखुरे, 33 ते 172 या 90% विश्वास-मध्यांतरासह. प्रत्यक्षात फक्त पाचव्याचे स्थानच महत्त्वाचे असते.

1,000 लोकांमधील डावखुऱ्यांच्या संख्येचा अंदाज: सापडलेला प्रत्येक नवा डावखुरा अंदाज अधिक नेमका करतो (काळा वक्र: पाचही). — आकृती 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

युर्त आपल्या सांख्यिकीय कथांच्या पुस्तकात अशा तर्काचे, “न मोजलेल्यांना मोजण्याचे”, प्रत्यक्ष उपयोग दाखवतात: जंगलातील मूषक किंवा हरणांच्या संख्येचा अंदाज, आणि 1978 ते 1995 या काळात ग्वाटेमालामध्ये मारल्या गेलेल्या लोकांची संख्या.