BERAPA KARTU SAMPAI AS PERTAMA?

Teka-teki ini berasal dari serangkaian panjang asah otak yang ditulis Profesor Jostein Lillestøl untuk Tilfeldig Gang — permainan kata yang berarti “Langkah Acak” (Random Walk) —, majalah Asosiasi Statistik Norwegia: “Ambil satu set 52 kartu, termasuk 4 as. Kocok dengan baik, lalu buka satu kartu demi satu kartu sampai as pertama muncul. Rata-rata berapa kartu yang dibutuhkan? Tantangan: temukan beberapa solusi yang berbeda.”

Nils Lid Hjort, ahli statistik di Universitas Oslo, mengaku menghabiskan dua hari musim panas di balkonnya untuk soal ini — tanpa AI. Esai pendeknya dibuka dengan sebuah ratapan: ia yakin AI akan segera mampu menulis esai seperti itu “dengan gaya sastra Profesor N.L. Hjort yang kadang berbunga-bunga”, yang menurutnya “memukau dan luar biasa — namun sekaligus meresahkan dan mengkhawatirkan”.

Jawabannya: 10,6

Dengan N kartu yang mencakup n as, rata-rata jumlah kartu yang dibutuhkan untuk mencapai as pertama adalah:

(N + 1) / (n + 1)

Untuk satu set kartu biasa: 53 / 5 = 10,6.

Hjort membuktikannya dengan beberapa cara:

1. Dengan menghitung peluang pasti bahwa as pertama muncul pada setiap tarikan, lalu merata-ratakannya, dengan bantuan identitas klasik dari segitiga Pascal. Jumlahkan bilangan di sepanjang sebuah diagonal, dan jawabannya muncul satu langkah lebih ke bawah, di baris berikutnya — misalnya 1 + 4 + 10 + 20 = 35. Identitas ini dijuluki rumus “kaus kaki Natal” atau “tongkat hoki”.
2. Dengan menjumlahkan peluang bahwa belum ada as yang muncul.
3. Dengan pendekatan kontinu: untuk set kartu yang besar, waktu tunggu dibagi N + 1 berperilaku seperti sebuah kurva yang sudah dikenal (distribusi Beta), yang rata-ratanya memberikan hasil yang sama.

Peluang as pertama muncul pada setiap tarikan: nilai pasti (hitam) dan pendekatan (merah, putus-putus) nyaris berimpit. — Gambar 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

As-as lainnya

Celah antara as pertama dan kedua, antara as kedua dan ketiga, dan seterusnya, semuanya mengikuti distribusi yang sama dengan waktu tunggu as pertama. Celah-celah itu tidak saling bebas, tetapi dapat saling dipertukarkan. Jadi, rata-rata, keempat as memotong 53 “slot” set kartu menjadi lima bagian yang sama. Untuk set kartu yang besar, posisi as-as itu berperilaku seperti titik-titik yang dijatuhkan secara acak pada sebuah garis — sebuah kaitan dengan perangkat statistik modern yang lebih canggih.

Membalik teka-tekinya

Bagian yang berguna muncul ketika pertanyaannya dibalik. Misalkan Anda tidak tahu berapa banyak kartu — atau orang, atau hewan — yang ada.

• Anda tahu ada 4 as, dan as pertama muncul pada kartu ke-10. Perkiraan terbaik untuk ukuran set kartu adalah 58, dengan margin ketidakpastian yang lebar.
• Ada 1.000 orang di sebuah ruangan. Anda menyapa mereka satu per satu, dan lima orang kidal pertama yang Anda temui adalah orang nomor 10, 18, 22, 39, dan 50. Perkiraan: sekitar 85 orang kidal, dengan selang kepercayaan 90% dari 33 hingga 172. Hanya posisi orang kidal kelima yang benar-benar berpengaruh.

Memperkirakan jumlah orang kidal di antara 1.000 orang: setiap orang kidal baru yang ditemukan mempertajam perkiraan (kurva hitam: kelimanya). — Gambar 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Dalam bukunya yang berisi kisah-kisah statistik, Hjort menunjuk penggunaan nyata penalaran semacam ini, “menghitung yang tak terhitung”: memperkirakan jumlah tikus ladang atau rusa di hutan, dan jumlah orang yang terbunuh di Guatemala antara 1978 dan 1995.