كم ورقة حتى يظهر أول آس؟

يأتي اللغز من سلسلة طويلة من الأحاجي كتبها البروفيسور يوستاين ليليستول لمجلة Tilfeldig Gang، وهو تلاعب لفظي يعني «المشي العشوائي»، وهي مجلة الجمعية الإحصائية النرويجية: «خذ مجموعة من 52 ورقة، منها 4 آسات. اخلطها جيدًا، ثم اقلب ورقة واحدة في كل مرة حتى يظهر أول آس. كم ورقة تحتاج في المتوسط؟ التحدي: جِد حلولًا مختلفة».

ويقول نيلس ليد يورت، الإحصائي في جامعة أوسلو، إنه أمضى يومين صيفيين على شرفته في حلّه، من دون ذكاء اصطناعي. وتبدأ مقالته القصيرة برثاء: فهو يعتقد أن ذكاءً اصطناعيًا سيتمكن قريبًا من كتابة مقالة كهذه «بالأسلوب الأدبي المنمّق أحيانًا للبروفيسور N.L. Hjort»، وهو أمر يراه «باهرًا إلى حدّ السحر، ومع ذلك مقلقًا ومثيرًا للهمّ».

الجواب: 10.6

في مجموعة من N ورقة بينها n آس، يكون متوسط عدد الأوراق اللازمة للوصول إلى أول آس:

(N + 1) / (n + 1)

وفي مجموعة عادية: 53 / 5 = 10.6.

ويبرهن يورت على ذلك بعدة طرق:

1. بحساب الاحتمال الدقيق لظهور أول آس عند كل سحبة، ثم أخذ المتوسط، بالاستعانة بمتطابقة كلاسيكية من مثلث باسكال. اجمع الأعداد على امتداد قطر، فيظهر الجواب خطوة أبعد في الصف التالي، مثل 1 + 4 + 10 + 20 = 35. وتُلقّب بصيغة «جورب عيد الميلاد» أو «عصا الهوكي».
2. بجمع احتمالات عدم ظهور أي آس حتى الآن.
3. بتقريب سلس: في مجموعة كبيرة، يتصرف زمن الانتظار مقسومًا على N + 1 مثل منحنى معروف (توزيع بيتا)، ويعطي متوسطه النتيجة نفسها.

احتمال ظهور أول آس عند كل سحبة: القيمة الدقيقة (بالأسود) والتقريب (بالأحمر المتقطع) يكادان يتطابقان. — الشكل 1، يورت (2026)، arXiv:2609.29596.

الآسات الأخرى

الفجوة بين الآس الأول والثاني، وبين الثاني والثالث، وهكذا، تتبع جميعها التوزيع نفسه الذي يتبعه انتظار الآس الأول. وهي ليست مستقلة، لكنها قابلة للتبادل. لذلك تقسم الآسات الأربعة، في المتوسط، «الخانات» الثلاث والخمسين للمجموعة إلى خمسة أجزاء متساوية. وفي المجموعات الكبيرة، تتصرف مواضع الآسات مثل نقاط أُسقطت عشوائيًا على خط، وهي صلة بأدوات أكثر تقدمًا في الإحصاء الحديث.

قلب اللغز

يأتي الجزء المفيد حين تعكس السؤال. افترض أنك لا تعرف كم ورقة هناك، أو كم شخصًا، أو كم حيوانًا.

• تعرف أن هناك 4 آسات، وأن أولها يظهر عند الورقة العاشرة. أفضل تقدير لحجم المجموعة هو 58، مع هامش واسع من عدم اليقين.
• في غرفة 1000 شخص. تحيّيهم واحدًا تلو الآخر، فيكون أول خمسة عُسْر تقابلهم هم الأشخاص رقم 10 و18 و22 و39 و50. التقدير: نحو 85 أعسر، بفترة ثقة 90% تمتد من 33 إلى 172. ولا يهمّ فعليًا سوى موضع الخامس.

تقدير عدد العُسْر بين 1000 شخص: كل أعسر جديد يُعثر عليه يزيد التقدير دقة (المنحنى الأسود: الخمسة جميعًا). — الشكل 3، يورت (2026)، arXiv:2609.29596.

ويشير يورت، في كتابه عن الحكايات الإحصائية، إلى استخدامات حقيقية لهذا النوع من الاستدلال، أي «عدّ من لم يُعَدّوا»: تقدير أعداد فئران الحقل أو الغزلان في غابة، وعدد الأشخاص الذين قُتلوا في غواتيمالا بين عامَي 1978 و1995.