پہلے یکّے تک کتنے پتے؟

یہ پہیلی ان دماغی معموں کے ایک طویل سلسلے سے ہے جو پروفیسر یوستین لِلّیسٹول نے Tilfeldig Gang کے لیے لکھے — یہ لفظی کھیل ہے جس کا مطلب “بے ترتیب چال” (Random Walk) ہے — جو ناروے کی شماریاتی انجمن کا رسالہ ہے: “52 پتوں کی ایک گڈی لیں، جس میں 4 یکّے ہیں۔ اچھی طرح پھینٹیں، پھر پہلا یکّا آنے تک ایک وقت میں ایک پتا الٹیں۔ اوسطاً کتنے پتے درکار ہوں گے؟ چیلنج: مختلف حل تلاش کریں۔”

اوسلو یونیورسٹی کے ماہرِ شماریات نِلس لِڈ یورت کہتے ہیں کہ انہوں نے اپنی بالکونی میں گرمیوں کے دو دن اس پر صرف کیے — اے آئی کے بغیر۔ ان کا مختصر مضمون ایک شکوے سے شروع ہوتا ہے: ان کا خیال ہے کہ جلد ہی کوئی اے آئی ایسا مضمون “پروفیسر N.L. Hjort کے کبھی کبھار پُرتکلف ادبی انداز میں” لکھ سکے گی، جسے وہ “مسحور کن حد تک شاندار — اور پھر بھی، پریشان کن اور تشویشناک” سمجھتے ہیں۔

جواب: 10.6

اگر N پتے ہوں جن میں n یکّے شامل ہوں، تو پہلے یکّے تک پہنچنے کے لیے درکار پتوں کی اوسط تعداد یہ ہے:

(N + 1) / (n + 1)

ایک عام گڈی کے لیے: 53 / 5 = 10.6۔

یورت اسے کئی طریقوں سے ثابت کرتے ہیں:

1. ہر بار پتا نکالنے پر پہلے یکّے کے آنے کا عین احتمال نکال کر، پھر اوسط لے کر، پاسکل کی مثلث کی ایک کلاسیکی مساوات کی مدد سے۔ ایک ترچھی قطار کے ساتھ اعداد جمع کریں تو جواب ایک قدم آگے، اگلی سطر میں نظر آتا ہے — مثلاً 1 + 4 + 10 + 20 = 35۔ اسے “کرسمس کا موزہ” یا “ہاکی اسٹک” فارمولا کہا جاتا ہے۔
2. ان احتمالات کو جمع کر کے کہ اب تک کوئی یکّا نہیں آیا۔
3. ایک ہموار تخمینے کے ذریعے: بڑی گڈی کے لیے، انتظار کا وقت N + 1 سے تقسیم کرنے پر ایک معلوم خم (بیٹا تقسیم، Beta distribution) جیسا برتاؤ کرتا ہے، جس کی اوسط وہی نتیجہ دیتی ہے۔

ہر بار پتا نکالنے پر پہلے یکّے کے آنے کا امکان: عین قدر (سیاہ) اور تخمینہ (سرخ، نقطہ دار) تقریباً ایک دوسرے پر منطبق ہیں۔ — شکل 1، Hjort (2026)، arXiv:2609.29596۔

باقی یکّے

پہلے اور دوسرے یکّے کے درمیان، دوسرے اور تیسرے کے درمیان، اور اسی طرح آگے کے وقفے، سب پہلے یکّے کے انتظار والی ایک ہی تقسیم کی پیروی کرتے ہیں۔ یہ ایک دوسرے سے آزاد نہیں، لیکن باہم قابلِ تبادلہ ہیں۔ اس لیے اوسطاً چاروں یکّے گڈی کی 53 “جگہوں” کو پانچ برابر حصوں میں کاٹ دیتے ہیں۔ بڑی گڈیوں کے لیے، یکّوں کی جگہیں ایک لکیر پر بے ترتیب گرائے گئے نقطوں جیسا برتاؤ کرتی ہیں — جو جدید شماریات کے زیادہ پیچیدہ اوزاروں سے ایک ربط ہے۔

پہیلی کو الٹ دینا

کارآمد حصہ تب آتا ہے جب سوال کو الٹ دیا جائے۔ فرض کریں آپ کو یہ معلوم نہیں کہ کتنے پتے — یا لوگ، یا جانور — موجود ہیں۔

• آپ جانتے ہیں کہ 4 یکّے ہیں، اور پہلا یکّا دسویں پتے پر آتا ہے۔ گڈی کے سائز کا بہترین تخمینہ 58 ہے، غیر یقینی کی وسیع گنجائش کے ساتھ۔
• ایک کمرے میں 1,000 لوگ ہیں۔ آپ ان سے ایک ایک کر کے ملتے ہیں، اور پہلے پانچ بائیں ہاتھ والے جن سے آپ ملتے ہیں وہ نمبر 10، 18، 22، 39 اور 50 ہیں۔ تخمینہ: تقریباً 85 بائیں ہاتھ والے، 90% اعتماد کے وقفے کے ساتھ جو 33 سے 172 تک ہے۔ اصل میں صرف پانچویں کی جگہ اہم ہے۔

1,000 لوگوں میں بائیں ہاتھ والوں کی تعداد کا تخمینہ: ہر نیا ملنے والا بائیں ہاتھ والا تخمینے کو زیادہ درست بناتا ہے (سیاہ خم: پانچوں)۔ — شکل 3، Hjort (2026)، arXiv:2609.29596۔

یورت اپنی شماریاتی کہانیوں کی کتاب میں ایسی سوچ، یعنی “اَن گنے کو گننے”، کے حقیقی استعمالات کی طرف اشارہ کرتے ہیں: کسی جنگل میں چوہوں (voles) یا ہرنوں کی تعداد کا اندازہ، اور 1978 سے 1995 کے درمیان گوئٹے مالا میں مارے جانے والے لوگوں کی تعداد۔