СКОЛЬКО КАРТ ДО ПЕРВОГО ТУЗА?

Головоломка взята из длинной серии задач, которые профессор Йостейн Лиллестёль писал для журнала Tilfeldig Gang — игра слов, означающая «Случайное блуждание» (Random Walk), — издания Норвежской статистической ассоциации: «Возьмите колоду из 52 карт, в которой 4 туза. Хорошо перетасуйте, затем открывайте по одной карте, пока не появится первый туз. Сколько карт понадобится в среднем? Задание: найдите разные решения».

Нильс Лид Хьорт, статистик из Университета Осло, говорит, что потратил на неё два летних дня на своём балконе — без ИИ. Его короткое эссе начинается с сетования: он полагает, что скоро ИИ сможет написать такое эссе «в порой витиеватом литературном стиле профессора Н. Л. Хьорта», что он находит «завораживающе великолепным — и всё же тревожным и беспокоящим».

Ответ: 10,6

Если в колоде N карт, среди которых n тузов, среднее число карт, нужных, чтобы дойти до первого туза, равно:

(N + 1) / (n + 1)

Для обычной колоды: 53 / 5 = 10,6.

Хьорт доказывает это несколькими способами:

1. Вычисляя точную вероятность того, что первый туз появится при каждом вытягивании, а затем усредняя, с помощью классического тождества из треугольника Паскаля. Сложите числа вдоль диагонали — и ответ появится шагом ниже, в следующей строке: например, 1 + 4 + 10 + 20 = 35. Это тождество в шутку называют формулой «рождественского носка» или «хоккейной клюшки».
2. Складывая вероятности того, что туз ещё не появился.
3. С помощью гладкого приближения: для большой колоды время ожидания, делённое на N + 1, ведёт себя как известная кривая (бета-распределение), среднее значение которой даёт тот же результат.

Вероятность того, что первый туз появится при каждом вытягивании: точное значение (чёрная линия) и приближение (красная пунктирная) почти совпадают. — Рисунок 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Остальные тузы

Промежуток между первым и вторым тузом, между вторым и третьим и так далее подчиняется тому же распределению, что и ожидание первого туза. Эти промежутки не независимы, но взаимозаменяемы. Поэтому в среднем четыре туза делят 53 «ячейки» колоды на пять равных частей. Для больших колод положения тузов ведут себя как точки, случайно брошенные на прямую, — это связь с более продвинутыми инструментами современной статистики.

Перевернуть головоломку

Полезное начинается, когда вопрос переворачивают. Предположим, вы не знаете, сколько всего карт — или людей, или животных.

• Вы знаете, что тузов 4, и первый появился на 10-й карте. Лучшая оценка размера колоды — 58, с широким диапазоном неопределённости.
• В зале 1000 человек. Вы здороваетесь с ними по одному, и первые пять встреченных левшей оказываются под номерами 10, 18, 22, 39 и 50. Оценка: около 85 левшей, с 90-процентным доверительным интервалом от 33 до 172. На самом деле значение имеет только позиция пятого.

Оценка числа левшей среди 1000 человек: каждый новый найденный левша уточняет оценку (чёрная кривая — все пятеро). — Рисунок 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Хьорт указывает на реальные применения таких рассуждений — «подсчёта неучтённого» — в своей книге статистических историй: оценку числа полёвок или оленей в лесу и числа людей, убитых в Гватемале с 1978 по 1995 год.