要翻多少张牌才会出现第一张A？
这道题出自Jostein Lillestøl教授为挪威统计学会会刊《Tilfeldig Gang》撰写的一长串智力题——刊名是个文字游戏，意为“随机游走”：“取一副52张的牌，其中有4张A。充分洗牌，然后一次翻开一张，直到出现第一张A。平均需要翻多少张？挑战：找出不同的解法。”
奥斯陆大学的统计学家Nils Lid Hjort说，他在自家阳台上花了两个夏日来琢磨这道题——没有借助AI。他的这篇短文以一段感慨开篇：他相信AI很快就能“以N.L. Hjort教授那偶尔华丽的文风”写出这样的文章，他觉得这“精彩得令人着迷——却又令人不安、令人忧虑”。
答案：10.6
一副共N张、其中有n张A的牌，翻到第一张A平均需要的张数为：
(N + 1) / (n + 1)
对于一副普通的牌：53 / 5 = 10.6。
Hjort用好几种方法证明了这一结果：
- 计算第一张A恰好出现在每一次翻牌时的精确概率，再求平均，其间借助了帕斯卡三角形（杨辉三角）中的一个经典恒等式：沿一条斜线把数字相加，答案就出现在下一行、再往下一步的位置——例如1 + 4 + 10 + 20 = 35。它的绰号是“圣诞袜”公式或“曲棍球棒”公式。
- 把“还没出现A”的各个概率相加。
- 用一种平滑近似：对于一副很大的牌，等待时间除以N + 1后的表现类似一条已知曲线（Beta分布），其平均值给出同样的结果。
第一张A出现在每一次翻牌时的概率：精确值（黑色）与近似值（红色虚线）几乎重合。——图1，Hjort（2026），arXiv:2609.29596。
其他几张A
第一张与第二张A之间的间隔、第二张与第三张之间的间隔，依此类推，全都服从与等待第一张A相同的分布。它们并不相互独立，但可以互换。因此平均而言，四张A把这副牌的53个“空位”切成五等份。对于很大的牌堆，A的位置就像随机落在一条线上的点——这与现代统计学中更高级的工具联系在一起。
把趣题反过来
有用之处在于把问题反过来。假设你不知道一共有多少张牌——或者多少人、多少动物。
- 你知道有4张A，而第一张A出现在第10张。对这副牌张数的最佳估计是58，不确定性范围很宽。
- 一个房间里有1000人。你一个个打招呼，遇到的前五个左撇子分别是第10、18、22、39和50个人。估计：大约85个左撇子，90%置信区间为33到172。真正起作用的只有第五个左撇子的位置。
估计1000人中左撇子的数量：每多找到一个左撇子，估计就更精确一些（黑色曲线：全部五个）。——图3，Hjort（2026），arXiv:2609.29596。
Hjort在他那本讲述统计故事的书中，提到了这种“数清未被计数之物”的推理在现实中的应用：估计森林中田鼠或鹿的数量，以及1978年至1995年间危地马拉的遇难人数。