முதல் ஏஸ் வர எத்தனை சீட்டுகள்?

இந்தப் புதிர், நார்வேஜியப் புள்ளியியல் சங்கத்தின் இதழான Tilfeldig Gang — “சீரற்ற நடை” (Random Walk) என்று பொருள்படும் ஒரு சொல்விளையாட்டு — இதழுக்காகப் பேராசிரியர் Jostein Lillestøl எழுதிய மூளைக்கு வேலை தரும் புதிர்களின் நீண்ட தொடரிலிருந்து வருகிறது: “4 ஏஸ்கள் உட்பட 52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு கட்டை எடுங்கள். நன்றாகக் கலக்கி, முதல் ஏஸ் தோன்றும் வரை ஒரு நேரத்தில் ஒரு சீட்டைத் திருப்புங்கள். சராசரியாக எத்தனை சீட்டுகள் தேவை? சவால்: வெவ்வேறு தீர்வுகளைக் கண்டுபிடியுங்கள்.”

ஓஸ்லோ பல்கலைக்கழகப் புள்ளியியலாளர் Nils Lid Hjort, கோடையின் இரண்டு நாட்களைத் தனது பால்கனியில் இதற்காகச் செலவிட்டதாகச் சொல்கிறார் — AI இல்லாமல். அவரது சிறு கட்டுரை ஒரு புலம்பலுடன் தொடங்குகிறது: “பேராசிரியர் N.L. Hjort-இன் அவ்வப்போது அலங்காரமான இலக்கிய நடையில்” இத்தகைய கட்டுரையை விரைவில் ஒரு AI எழுத முடியும் என்று அவர் நம்புகிறார்; அதை அவர் “மயக்கும் அளவுக்கு அற்புதமானது — ஆனாலும், கலக்கமூட்டுவதும் கவலைக்குரியதும்” என்கிறார்.

விடை: 10.6

n ஏஸ்கள் உட்பட N சீட்டுகள் இருந்தால், முதல் ஏஸை அடையத் தேவைப்படும் சீட்டுகளின் சராசரி எண்ணிக்கை:

(N + 1) / (n + 1)

சாதாரணக் கட்டுக்கு: 53 / 5 = 10.6.

Hjort இதைப் பல வழிகளில் நிரூபிக்கிறார்:

1. ஒவ்வொரு எடுப்பிலும் முதல் ஏஸ் தோன்றுவதற்கான துல்லியமான நிகழ்தகவைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் சராசரி எடுத்து, பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் ஒரு பழைய முற்றொருமையின் உதவியுடன். ஒரு மூலைவிட்டத்தின் வழியே எண்களைக் கூட்டினால், விடை ஒரு படி கீழே, அடுத்த வரிசையில் தோன்றும் — எடுத்துக்காட்டாக 1 + 4 + 10 + 20 = 35. இதற்கு “கிறிஸ்துமஸ் காலுறை” அல்லது “ஹாக்கி மட்டை” சூத்திரம் என்று செல்லப்பெயர்.
2. இதுவரை எந்த ஏஸும் தோன்றாத நிகழ்தகவுகளைக் கூட்டுவதன் மூலம்.
3. ஒரு மென்மையான தோராயத்துடன்: பெரிய கட்டுக்கு, காத்திருப்பு நேரத்தை N + 1-ஆல் வகுத்தால் அது அறியப்பட்ட ஒரு வளைவைப் (Beta பரவல்) போல நடந்துகொள்கிறது; அதன் சராசரி அதே முடிவைத் தருகிறது.

ஒவ்வொரு எடுப்பிலும் முதல் ஏஸ் வருவதற்கான வாய்ப்பு: துல்லியமானது (கருப்பு), தோராயம் (சிவப்பு, புள்ளிக்கோடு) கிட்டத்தட்ட ஒன்றிணைகின்றன. — படம் 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

மற்ற ஏஸ்கள்

முதல், இரண்டாம் ஏஸ்களுக்கு இடையிலான இடைவெளி, இரண்டாம், மூன்றாம் ஏஸ்களுக்கு இடையிலானது, இப்படியே தொடர்ந்து, எல்லாமே முதல் ஏஸுக்கான காத்திருப்பின் அதே பரவலைப் பின்பற்றுகின்றன. அவை சார்பற்றவை அல்ல, ஆனால் ஒன்றுக்கொன்று இடம் மாற்றத்தக்கவை. எனவே சராசரியாக, நான்கு ஏஸ்களும் கட்டின் 53 “இடங்களை” ஐந்து சம பகுதிகளாக வெட்டுகின்றன. பெரிய கட்டுகளுக்கு, ஏஸ்களின் நிலைகள் ஒரு கோட்டின் மேல் சீரற்ற முறையில் போடப்பட்ட புள்ளிகள் போல நடந்துகொள்கின்றன — நவீனப் புள்ளியியலின் மேம்பட்ட கருவிகளுடன் ஒரு இணைப்பு.

புதிரைத் தலைகீழாக்குதல்

கேள்வியைத் தலைகீழாக்கும்போதுதான் பயனுள்ள பகுதி வருகிறது. எத்தனை சீட்டுகள் — அல்லது மனிதர்கள், அல்லது விலங்குகள் — உள்ளன என்று உங்களுக்குத் தெரியாது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

• 4 ஏஸ்கள் இருப்பது உங்களுக்குத் தெரியும்; முதல் ஏஸ் 10-ஆவது சீட்டில் தோன்றுகிறது. கட்டின் அளவுக்கான சிறந்த மதிப்பீடு 58, பரந்த நிச்சயமின்மை வரம்புடன்.
• ஒரு அறையில் 1,000 பேர் இருக்கிறார்கள். நீங்கள் அவர்களை ஒவ்வொருவராக வாழ்த்துகிறீர்கள்; நீங்கள் சந்திக்கும் முதல் ஐந்து இடக்கைப் பழக்கமுள்ளவர்கள் 10, 18, 22, 39, 50 ஆம் எண்ணினர். மதிப்பீடு: சுமார் 85 இடக்கைப் பழக்கமுள்ளவர்கள், 33 முதல் 172 வரையிலான 90% நம்பக இடைவெளியுடன். உண்மையில் ஐந்தாமவரின் நிலை மட்டுமே முக்கியம்.

1,000 பேரில் இடக்கைப் பழக்கமுள்ளவர்களின் எண்ணிக்கையை மதிப்பிடுதல்: கண்டறியப்படும் ஒவ்வொரு புதிய இடக்கையரும் மதிப்பீட்டைக் கூர்மையாக்குகிறார் (கருப்பு வளைவு: ஐவரும்). — படம் 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

“எண்ணப்படாதவற்றை எண்ணுதல்” என்ற இத்தகைய சிந்தனையின் உண்மையான பயன்பாடுகளைத் Hjort தனது புள்ளியியல் கதைகள் நூலில் சுட்டிக்காட்டுகிறார்: ஒரு காட்டில் உள்ள வயல் எலிகள் (voles) அல்லது மான்களின் எண்ணிக்கையை மதிப்பிடுதல், 1978 முதல் 1995 வரை குவாத்தமாலாவில் கொல்லப்பட்டவர்களின் எண்ணிக்கை.