QUANTAS CARTAS ATÉ O PRIMEIRO ÁS?
O enigma vem de uma longa série de quebra-cabeças escritos pelo professor Jostein Lillestøl para a Tilfeldig Gang — um jogo de palavras que significa “Passeio Aleatório” —, a revista da Associação Norueguesa de Estatística: “Pegue um baralho de 52 cartas, incluindo seus 4 ases. Embaralhe bem e depois vire uma carta de cada vez até aparecer o primeiro ás. Quantas cartas são necessárias em média? Desafio: encontre soluções diferentes.”
Nils Lid Hjort, estatístico da Universidade de Oslo, conta que passou dois dias de verão na sua varanda com o problema — sem IA. Seu curto ensaio começa com um lamento: ele acredita que uma IA logo será capaz de escrever um ensaio assim “no estilo literário por vezes floreado do professor N.L. Hjort”, o que ele acha “fascinantemente esplêndido — e, no entanto, perturbador e preocupante”.
A resposta: 10,6
Com N cartas, das quais n são ases, o número médio de cartas necessárias para chegar ao primeiro ás é:
(N + 1) / (n + 1)
Para um baralho comum: 53 / 5 = 10,6.
Hjort prova isso de várias maneiras:
- Calculando a probabilidade exata de o primeiro ás aparecer em cada tiragem e depois tirando a média, com a ajuda de uma identidade clássica do triângulo de Pascal. Some os números ao longo de uma diagonal e a resposta aparece um passo mais abaixo, na linha seguinte — por exemplo, 1 + 4 + 10 + 20 = 35. Ela tem o apelido de fórmula da “meia de Natal” ou do “taco de hóquei”.
- Somando as probabilidades de nenhum ás ter aparecido ainda.
- Com uma aproximação contínua: para um baralho grande, o tempo de espera dividido por N + 1 se comporta como uma curva conhecida (uma distribuição Beta), cuja média dá o mesmo resultado.
Chance de o primeiro ás aparecer em cada tiragem: o valor exato (preto) e a aproximação (vermelho, tracejado) quase coincidem. — Figura 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
Os outros ases
O intervalo entre o primeiro e o segundo ás, entre o segundo e o terceiro, e assim por diante, seguem todos a mesma distribuição que a espera pelo primeiro ás. Eles não são independentes, mas são intercambiáveis. Em média, os quatro ases cortam, portanto, as 53 “posições” do baralho em cinco partes iguais. Para baralhos grandes, as posições dos ases se comportam como pontos lançados ao acaso numa reta — um elo com ferramentas mais avançadas da estatística moderna.
Invertendo o enigma
A parte útil aparece quando se inverte a pergunta. Suponha que você não saiba quantas cartas — ou pessoas, ou animais — existem.
- Você sabe que há 4 ases, e o primeiro aparece na 10ª carta. A melhor estimativa do tamanho do baralho é 58, com uma ampla margem de incerteza.
- Há 1.000 pessoas numa sala. Você as cumprimenta uma a uma, e os cinco primeiros canhotos que encontra são os números 10, 18, 22, 39 e 50. Estimativa: cerca de 85 canhotos, com um intervalo de confiança de 90% indo de 33 a 172. Só a posição do quinto realmente importa.
Estimativa do número de canhotos entre 1.000 pessoas: cada novo canhoto encontrado refina a estimativa (curva preta: os cinco). — Figura 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
Hjort aponta usos reais desse tipo de raciocínio, “contar os não contados”, em seu livro de histórias estatísticas: estimar o número de ratazanas-do-campo ou de cervos numa floresta, e o número de pessoas mortas na Guatemala entre 1978 e 1995.