¿CUÁNTAS CARTAS HASTA EL PRIMER AS?
El acertijo procede de una larga serie de rompecabezas escritos por el profesor Jostein Lillestøl para Tilfeldig Gang —un juego de palabras que significa «paseo aleatorio»—, la revista de la Asociación Estadística Noruega: «Toma una baraja de 52 cartas, con sus 4 ases. Barájala bien y luego ve dando la vuelta a una carta cada vez hasta que aparezca el primer as. ¿Cuántas cartas hacen falta de media? Reto: encuentra soluciones distintas».
Nils Lid Hjort, estadístico de la Universidad de Oslo, cuenta que dedicó dos días de verano en su balcón a resolverlo, sin IA. Su breve ensayo empieza con un lamento: cree que pronto una IA podrá escribir un ensayo así «en el estilo literario, a veces florido, del profesor N.L. Hjort», algo que le parece «fascinantemente espléndido y, sin embargo, inquietante y preocupante».
La respuesta: 10,6
Con N cartas, entre ellas n ases, el número medio de cartas necesarias para llegar al primer as es:
(N + 1) / (n + 1)
Para una baraja normal: 53 / 5 = 10,6.
Hjort lo demuestra de varias maneras:
- Calculando la probabilidad exacta de que el primer as aparezca en cada extracción y luego promediando, con ayuda de una identidad clásica del triángulo de Pascal. Se suman los números a lo largo de una diagonal y el resultado aparece un paso más abajo, en la fila siguiente; por ejemplo, 1 + 4 + 10 + 20 = 35. Se la conoce como la fórmula del «calcetín de Navidad» o del «palo de hockey».
- Sumando las probabilidades de que todavía no haya salido ningún as.
- Con una aproximación continua: para una baraja grande, el tiempo de espera dividido entre N + 1 se comporta como una curva conocida (una distribución beta), cuya media da el mismo resultado.
Probabilidad de que el primer as salga en cada extracción: el valor exacto (negro) y la aproximación (rojo, discontinua) casi coinciden. — Figura 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
Los demás ases
El hueco entre el primer y el segundo as, entre el segundo y el tercero, y así sucesivamente, siguen todos la misma distribución que la espera hasta el primer as. No son independientes, pero sí intercambiables. Por tanto, de media, los cuatro ases cortan los 53 «huecos» de la baraja en cinco partes iguales. En barajas grandes, las posiciones de los ases se comportan como puntos lanzados al azar sobre una recta, lo que enlaza con herramientas más avanzadas de la estadística moderna.
Darle la vuelta al acertijo
La parte útil llega cuando se invierte la pregunta. Supón que no sabes cuántas cartas —o personas, o animales— hay.
- Sabes que hay 4 ases y el primero aparece en la 10.ª carta. La mejor estimación del tamaño de la baraja es 58, con un amplio margen de incertidumbre.
- Hay 1000 personas en una sala. Las saludas una a una, y los cinco primeros zurdos que encuentras son los números 10, 18, 22, 39 y 50. Estimación: unos 85 zurdos, con un intervalo de confianza del 90 % que va de 33 a 172. Solo importa de verdad la posición del quinto.
Estimación del número de zurdos entre 1000 personas: cada nuevo zurdo encontrado afina la estimación (curva negra: los cinco). — Figura 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.
Hjort menciona usos reales de este tipo de razonamiento, «contar lo no contado», en su libro de historias estadísticas: estimar el número de topillos o de ciervos en un bosque, y el número de personas asesinadas en Guatemala entre 1978 y 1995.