より少ないポイントで試合に勝つ

2024年6月、ダートマス大学の卒業生に向けたスピーチで、ロジャー・フェデラーは2つの数字を挙げた。シングルスのキャリア1,526試合のうち、勝ったのはほぼ80%。しかし取ったポイントは、わずか54%。スピーチで引き出された教訓はレジリエンス（立ち直る力）についてで、最高の選手でさえ、ほぼ2ポイントに1ポイントは失うというものだった。これらの数字は、テニスの得点方式の基本的な性質も示している。ポイントがゲームをつくり、ゲームがセットをつくり、セットが試合をつくる。そしてポイントでのわずかな優位は、各段階で拡大されていく。

マドリードのレイ・フアン・カルロス大学複雑系グループのAndrés Martín、Johann H. Martínez、Javier M. Buldúは、この性質を分解し、男子プロテニスの35年分のデータで検証した。

仕事をするのは試合の長さ

ある選手が、すべてのポイントを同じ確率pで取るとしよう。試合に勝つ確率はどれくらいか。チームはテニス、バドミントン、バレーボール、卓球について、これを厳密に計算した。p = 50%なら、誰もが50%だ。その付近で、曲線は急勾配になる。

• ポイントを52.5%取る選手は、5セットのテニスの試合の80%に勝つ。
• 卓球の5ゲームマッチでは、同じ勝率に達するのに54.6%のポイントが必要だ。

この勾配は単純な規則に従う。それは1試合のポイント数の平方根に比例して大きくなり、Nポイントならおよそ√(2N/π)になる。1つのポイントが勝負を決めるのは、ほかのポイントがちょうど五分五分に分かれたときだけで、試合が長くなるほどそれはまれになる。ゲームとセットの階層構造全体は、これを数パーセントしか変えない。

ポイントから試合へ。試合が長いほど曲線は急になり（左）、50%での傾きはポイント数の平方根に従う（右）。— 図1、Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

ポイントの54%を取る場合、このモデルが予測する勝率は、3セットマッチで86%、5セットマッチで91%。フェデラーの82%を上回る。著者らはその理由を説明している。54%はまったく異なる相手に対する平均であり、このように曲がった曲線に沿って平均をとると、平均値で曲線を読んだ場合より低い結果になるのだ。

より重いポイント

とはいえ、すべてのポイントが同じではない。チームはポイントを2つに分けた。確率p₁で取る通常のポイントと、確率p₂で取る重要なポイントだ。重要なポイントとは、どちらが取るにせよ、取った側がゲーム、セット、あるいは試合を締めくくることになるポイントである。

選手がポイントの半分未満しか取らずに大半の試合に勝つ、狭い領域が必ず存在する。それが存在するのは、重要なポイントが、ポイント全体に占める割合以上に結果を左右するからで、4つの競技すべてに存在する。しかしそれは細いくさび形で、開き角はわずか0.3〜1.6度だ。テニスでは、通常のポイントの49%を取る選手がそこに入るには、ゲームポイントの約52.4%を取る必要がある。ゲームポイントは全ポイントの約29%と非常に頻繁なので、それを多く取ると全体の割合もすぐに上がる。セットポイントとマッチポイントはまれなので、試合を傾けるのは70%前後という大きな優位があるときだけだ。

35年分の試合

1991年から2025年までのATP男子の試合のうち、96,826試合中4,530試合（4.68%）は、取ったポイントが少ない選手が勝っていた。ポイントが独立だとした場合の予測は3,892試合で、実際の数は16%多い。サーブを考慮に入れても、まだ5%多い。ポイントが少ないのに勝った166のグランドスラムの試合では、勝者が取った通常のポイントは49.1%だったが、セットポイントの51.1%、マッチポイントの61.9%を取っていた。別のシーズンで測った、ブレークポイントでの選手の落ち着きも、結果を予測する。相手より1パーセントポイント上回ると、ポイントの割合が同じでも、勝つオッズが約1.08倍になる。

フェデラーのパラドックスを数え直す

フェデラーは奇妙な記録をもっている。相手より多くのポイントを取りながら負けた試合が36あり、これは誰よりも多い。しかしフェデラーは相手より多くのポイントを取ることがあまりに多かったので、そうした試合に負ける機会のほうが、ポイントが少ないのに勝つ機会よりはるかに多かった。公平な比較の相手は、ポイントが独立だとした場合の予測だ。そうした敗戦は36ではなく25.6、ポイントが少ないのに勝った試合は9ではなく15.6になるはずだった。したがって36という記録は、一部は数え方の効果で、一部はわずかな不足だ。合計すると、ポイントから見込まれるより接戦での成績が約17試合分下回る。著者らはこれを証明ではなく兆候と呼んでいる。ピート・サンプラス、アンドレ・アガシ、アンディ・マレー、ラファエル・ナダルは、いずれも期待より多くの接戦に勝っていた。

フォニーニのパラドックス

対極にいるのがファビオ・フォニーニだ。774試合で、フォニーニが取ったのは124,623ポイント中61,624ポイント、49.4%。それなのに、勝った試合は396試合、51.2%。ポイントが独立なら47.5%だったはずだ。秘訣はブレークポイントではなく、ポイントがセットにどう配分されているかにある。接戦のセットの56.6%を取り、負けたセットはしばしば一方的だった。18%が6–0か6–1で終わり、フェデラーでは5%だ。すでに落としたセットで失ったポイントは、何の損にもならない。調べた328人の選手のうち23人は、半分未満のポイントで半分を超える試合に勝っていた。

期待を上回る、または下回る接戦の勝利数。上端にフォニーニ、下端にフェデラー（左）。半分未満のポイントで大半の試合に勝った選手たち（右上）。— 図6、Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

このモデルは意図的に最小限にとどめられている。サーブは扱わず、確率は試合を通じて一定で、同じレベルの重要なポイントはすべて同じものとして扱い、データは男子テニスだけだ。論文の最後の一文はフェデラーの言葉「たかが1ポイントにすぎない」を借り、こう付け加える。「しかし、すべてのポイントが同じではない」。