कमी गुण जिंकूनही सामना जिंकणे

जून 2024 मध्ये डार्टमथ कॉलेजमधील पदवीधर होणाऱ्या विद्यार्थ्यांसमोर केलेल्या भाषणात, Roger Federer यांनी दोन आकडे सांगितले: कारकिर्दीतील 1,526 एकेरी सामन्यांपैकी जवळजवळ 80% जिंकले, पण गुण मात्र केवळ 54%. भाषणातून काढलेला धडा लवचीकपणाचा (resilience) होता — सर्वोत्तम खेळाडूही जवळजवळ दर दुसरा गुण गमावतात. हे आकडे टेनिसच्या गुणपद्धतीचा एक मूलभूत गुणधर्मही दाखवतात. गुणांतून गेम बनतात, गेमांतून सेट, सेटांतून सामना, आणि गुणांवरील लहानशी आघाडी प्रत्येक पातळीवर विवर्धित होते.

माद्रिदमधील किंग हुआन कार्लोस विद्यापीठाच्या कॉम्प्लेक्स सिस्टिम्स ग्रुपमधील Andrés Martín, Johann H. Martínez आणि Javier M. Buldú यांनी हा गुणधर्म सुटा करून तपासला, आणि मग पुरुषांच्या व्यावसायिक टेनिसच्या 35 वर्षांवर त्याची चाचणी घेतली.

सामन्याची लांबीच काम करते

समजा एखादा खेळाडू प्रत्येक गुण p या एकाच संभाव्यतेने जिंकतो. मग सामना जिंकण्याची शक्यता किती? पथकाने टेनिस, बॅडमिंटन, व्हॉलीबॉल आणि टेबल टेनिससाठी तिची अचूक गणना केली. p = 50% वर, प्रत्येकाची शक्यता 50% असते. त्या बिंदूभोवती वक्र तीव्र चढाचा असतो:

• 52.5% गुण जिंकणारा खेळाडू पाच सेटच्या टेनिस सामन्यांपैकी 80% सामने जिंकतो;
• टेबल टेनिसमध्ये, पाच गेमच्या सामन्यात (best of five games), तोच दर गाठण्यासाठी 54.6% गुण लागतात.

हा तीव्र चढ एका साध्या नियमाला अनुसरतो: तो सामन्यातील गुणांच्या संख्येच्या वर्गमुळानुसार वाढतो, N गुणांसाठी सुमारे √(2N/π). एकच गुण सामन्याचा निकाल तेव्हाच ठरवतो, जेव्हा इतर गुण समसमान विभागलेले असतात, आणि सामने जितके लांब, तितके हे दुर्मीळ होते. गेम आणि सेट यांची संपूर्ण श्रेणीरचना यात केवळ काही टक्क्यांचाच फरक पाडते.

गुणांपासून सामन्यांपर्यंत: सामना जितका लांब, तितका वक्र अधिक तीव्र (डावीकडे); 50% वरील उतार गुणांच्या संख्येच्या वर्गमुळाला अनुसरतो (उजवीकडे). — Figure 1, Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

54% गुणांवर, हे प्रारूप तीन सेटच्या सामन्यांत 86% आणि पाच सेटच्या सामन्यांत 91% विजयांचे भाकीत करते — Federer यांच्या 82% पेक्षा जास्त. लेखक याचे कारण स्पष्ट करतात: 54% ही अतिशय वेगवेगळ्या प्रतिस्पर्ध्यांवरची सरासरी आहे, आणि अशा प्रकारे वाकणाऱ्या वक्रावर सरासरी काढली, तर सरासरीच्या बिंदूवर वक्र वाचल्यापेक्षा कमी निकाल मिळतो.

अधिक वजनाचे गुण

तरीही सर्व गुण समान नसतात. पथकाने त्यांचे दोन गट केले: p₁ संभाव्यतेने जिंकले जाणारे सामान्य गुण, आणि p₂ संभाव्यतेने जिंकले जाणारे निर्णायक गुण — असा कोणताही गुण ज्याचा विजेता, तो कोणीही असो, एखादा गेम, सेट किंवा सामना संपवतो.

नेहमीच एक अरुंद क्षेत्र असते जिथे खेळाडू अर्ध्याहून कमी गुण जिंकूनही बहुतांश सामने जिंकतो. ते अस्तित्वात असते कारण निर्णायक गुणांचे निकालावरील वजन गुणांमधील त्यांच्या वाट्यापेक्षा जास्त असते, आणि ते चारही खेळांत असते. पण ती एक अरुंद पाचर (wedge) आहे, जी केवळ 0.3 ते 1.6 अंशांनी उघडते. टेनिसमध्ये, सामान्य गुणांपैकी 49% जिंकणाऱ्या खेळाडूला तिथे पोहोचण्यासाठी गेम पॉइंटपैकी सुमारे 52.4% जिंकावे लागतात. गेम पॉइंट इतके वारंवार येतात, सर्व गुणांच्या सुमारे 29%, की त्यांपैकी अधिक जिंकल्याने एकूण वाटा पटकन वाढतो. सेट पॉइंट आणि मॅच पॉइंट दुर्मीळ असतात, त्यामुळे ते केवळ मोठ्या आघाडीनेच, सुमारे 70%, सामन्याचे पारडे फिरवतात.

पस्तीस वर्षांचे सामने

1991 ते 2025 दरम्यान, पुरुषांच्या 96,826 पैकी 4,530 ATP सामने (4.68%) कमी गुण जिंकणाऱ्या खेळाडूने जिंकले. स्वतंत्र गुण गृहीत धरले तर भाकीत 3,892 चे येते: प्रत्यक्ष संख्या 16% जास्त आहे, आणि सर्व्हिस विचारात घेतल्यानंतरही 5% जास्त. कमी गुणांनी जिंकलेल्या 166 ग्रँड स्लॅम सामन्यांत, विजेत्यांनी सामान्य गुणांपैकी 49.1% गुण घेतले, पण सेट पॉइंटपैकी 51.1% आणि मॅच पॉइंटपैकी 61.9%. इतर हंगामांत मोजलेले, ब्रेक पॉइंटवरचे खेळाडूचे संयमी खेळणे (composure) देखील निकालांचे भाकीत करते: गुणांचा वाटा तोच असताना, प्रतिस्पर्ध्यापेक्षा एक टक्का-बिंदू अधिक चांगली कामगिरी जिंकण्याचे शक्यता-गुणोत्तर (odds) सुमारे 1.08 पटीने वाढवते.

Federer विरोधाभास, पुन्हा मोजलेला

Federer यांच्या नावावर एक विचित्र विक्रम आहे: प्रतिस्पर्ध्यापेक्षा अधिक गुण जिंकूनही गमावलेले 36 सामने, इतर कोणापेक्षाही जास्त. पण Federer यांनी प्रतिस्पर्ध्यापेक्षा अधिक गुण इतक्या वेळा जिंकले की असा सामना गमावण्याच्या संधी तो जिंकण्याच्या संधींपेक्षा कितीतरी जास्त होत्या. योग्य तुलना स्वतंत्र गुणांच्या भाकिताशी आहे: असे पराभव 36 ऐवजी 25.6, आणि कमी गुणांनी मिळवलेले विजय 9 ऐवजी 15.6. म्हणून 36 चा विक्रम अंशतः मोजणीचा परिणाम आहे, आणि अंशतः एक छोटी उणीव: एकूण, गुणांवरून अपेक्षित असलेल्यापेक्षा सुमारे 17 अटीतटीचे सामने कमी, जिला लेखक पुरावा नव्हे तर एक संकेत म्हणतात. Pete Sampras, Andre Agassi, Andy Murray आणि Rafael Nadal या सर्वांनी अपेक्षेपेक्षा अधिक अटीतटीचे सामने जिंकले.

Fognini विरोधाभास

दुसऱ्या टोकाला Fabio Fognini आहेत. 774 सामन्यांत, Fognini यांनी 124,623 पैकी 61,624 गुण, म्हणजे 49.4% जिंकले — तरीही 396 सामने, म्हणजे 51.2%. स्वतंत्र गुणांनी 47.5% दिले असते. रहस्य ब्रेक पॉइंटमध्ये नाही, तर गुण सेटांमध्ये कसे विभागले जातात यात आहे: अटीतटीच्या सेटांपैकी 56.6% जिंकले, आणि गमावलेले सेट बहुधा एकतर्फी — 18% सेट 6–0 किंवा 6–1 ने संपले, तर Federer यांचे 5%. आधीच हातातून गेलेल्या सेटमध्ये गमावलेल्या गुणांची काहीच किंमत मोजावी लागत नाही. अभ्यासलेल्या 328 खेळाडूंपैकी तेवीस खेळाडूंनी अर्ध्याहून कमी गुणांसह आपल्या अर्ध्याहून अधिक सामन्यांत विजय मिळवला.

अपेक्षेच्या वर किंवा खाली जिंकलेले अटीतटीचे सामने: सर्वात वर Fognini, सर्वात खाली Federer (डावीकडे); अर्ध्याहून कमी गुणांसह बहुतांश सामने जिंकलेले खेळाडू (वर उजवीकडे). — Figure 6, Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

हे प्रारूप जाणूनबुजून किमान ठेवले आहे: सर्व्हिस नाही, सामनाभर स्थिर संभाव्यता, एका पातळीवरील सर्व निर्णायक गुण सारखेच मानलेले, आणि माहितीत केवळ पुरुषांचे टेनिस. त्याची शेवटची ओळ Federer यांचे शब्द उसने घेते — “तो फक्त एक गुण आहे” — आणि पुढे म्हणते: “पण सर्व गुण समान नसतात.”