குறைவான புள்ளிகளுடன் போட்டியை வெல்வது

ஜூன் 2024-இல் Dartmouth College-இல் பட்டம் பெறும் மாணவர்களுக்கு ஆற்றிய உரையில், Roger Federer இரண்டு எண்களைக் குறிப்பிட்டார்: தம் விளையாட்டு வாழ்க்கையில் ஆடிய 1,526 ஒற்றையர் போட்டிகளில் ஏறக்குறைய 80% வெற்றி, ஆனால் புள்ளிகளில் வெறும் 54% மட்டுமே. அந்த உரையிலிருந்து பெறப்பட்ட பாடம் மன உறுதி (resilience) பற்றியது — மிகச் சிறந்தவர்களும்கூட ஏறக்குறைய இரண்டில் ஒரு புள்ளியை இழக்கிறார்கள். இந்த எண்கள் டென்னிஸ் புள்ளிக் கணக்கீட்டின் ஓர் அடிப்படைப் பண்பையும் காட்டுகின்றன. புள்ளிகள் கேம்களை உருவாக்குகின்றன, கேம்கள் செட்களை உருவாக்குகின்றன, செட்கள் போட்டியை உருவாக்குகின்றன; புள்ளிகளில் உள்ள ஒரு சிறிய முன்னிலை ஒவ்வொரு நிலையிலும் பெருக்கப்படுகிறது.

Madrid-இல் உள்ள King Juan Carlos University-இன் சிக்கலான அமைப்புகள் குழுவைச் (Complex Systems Group) சேர்ந்த Andrés Martín, Johann H. Martínez, Javier M. Buldú ஆகியோர் அந்தப் பண்பைக் கூறுகூறாகப் பிரித்து ஆராய்ந்தனர்; பிறகு 35 ஆண்டுகால ஆண்கள் தொழில்முறை டென்னிஸில் அதைச் சோதித்தனர்.

போட்டியின் நீளமே வேலையைச் செய்கிறது

ஒரு வீரர் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் ஒரே நிகழ்தகவு p-உடன் வெல்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவர் போட்டியை வெல்வதற்கான வாய்ப்பு எவ்வளவு? டென்னிஸ், பேட்மிண்டன், கைப்பந்து, மேசைப்பந்து ஆகியவற்றுக்கு அதைக் குழு துல்லியமாகக் கணக்கிட்டது. p = 50%-இல் எல்லோரும் 50%-இல் இருக்கிறார்கள். அந்தப் புள்ளியைச் சுற்றி, வளைவு செங்குத்தானது:

• 52.5% புள்ளிகளை வெல்லும் ஒரு வீரர், ஐந்து செட் டென்னிஸ் போட்டிகளில் 80% வெல்கிறார்;
• மேசைப்பந்தில், ஐந்து கேம்களில் மூன்றை வெல்ல வேண்டிய (best of five) போட்டிகளில், அதே விகிதத்தை எட்ட 54.6% புள்ளிகள் தேவை.

இந்தச் செங்குத்துத்தன்மை ஓர் எளிய விதியைப் பின்பற்றுகிறது: அது ஒரு போட்டியிலுள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமூலத்துக்கு ஏற்ப வளர்கிறது; N புள்ளிகளுக்கு ஏறக்குறைய √(2N/π). மற்ற புள்ளிகள் சமமாகப் பகிரப்பட்டிருக்கும்போது மட்டுமே ஒரு தனிப் புள்ளி ஒரு போட்டியைத் தீர்மானிக்கிறது; போட்டிகள் நீளமாக ஆக, அது அரிதாகிறது. கேம்கள், செட்கள் என்ற முழுப் படிநிலை அமைப்பும் இதைச் சில சதவீதம் மட்டுமே மாற்றுகிறது.

புள்ளிகளிலிருந்து போட்டிகளுக்கு: போட்டி எவ்வளவு நீளமோ, வளைவு அவ்வளவு செங்குத்து (இடது); 50%-இல் உள்ள சரிவு, புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமூலத்தைப் பின்பற்றுகிறது (வலது). — படம் 1, Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

54% புள்ளிகளில், இந்த மாதிரி மூன்று செட் போட்டிகளில் 86% வெற்றியையும் ஐந்து செட் போட்டிகளில் 91% வெற்றியையும் கணிக்கிறது — Federer-இன் 82%-ஐ விட அதிகம். ஆசிரியர்கள் காரணத்தை விளக்குகிறார்கள்: 54% என்பது மிகவும் வேறுபட்ட எதிராளிகளுக்கு எதிரான ஒரு சராசரி; இவ்வாறு வளையும் ஒரு வளைவின் நெடுகச் சராசரி எடுப்பது, சராசரியின் இடத்தில் வளைவைப் படிப்பதை விடக் குறைவான முடிவையே தருகிறது.

அதிக எடை கொண்ட புள்ளிகள்

ஆனால் எல்லாப் புள்ளிகளும் சமமானவை அல்ல. குழு அவற்றை இரண்டாகப் பிரித்தது: p₁ நிகழ்தகவுடன் வெல்லப்படும் சாதாரணப் புள்ளிகள், p₂ நிகழ்தகவுடன் வெல்லப்படும் தீர்க்கமான புள்ளிகள் (crucial points) — அதை வெல்பவர் யாராக இருந்தாலும், ஒரு கேமையோ, ஒரு செட்டையோ, போட்டியையோ முடித்து வைக்கும் எந்தப் புள்ளியும்.

பாதிக்கும் குறைவான புள்ளிகளை வென்றபடியே ஒரு வீரர் பெரும்பாலான போட்டிகளை வெல்லும் ஒரு குறுகிய மண்டலம் எப்போதும் இருக்கிறது. தீர்க்கமான புள்ளிகள், புள்ளிகளில் அவற்றின் பங்கை விட முடிவின் மீது அதிக எடை கொண்டிருப்பதால் அது இருக்கிறது; நான்கு விளையாட்டுகளிலும் அது உள்ளது. ஆனால் அது ஒரு மெல்லிய ஆப்பு வடிவப் பகுதி; வெறும் 0.3 முதல் 1.6 டிகிரி அளவுக்கே திறக்கிறது. டென்னிஸில், சாதாரணப் புள்ளிகளில் 49% வெல்லும் ஒரு வீரர் அங்கே சென்றடைய, கேம் புள்ளிகளில் ஏறக்குறைய 52.4% வெல்ல வேண்டும். கேம் புள்ளிகள் மிக அடிக்கடி வருகின்றன — எல்லாப் புள்ளிகளிலும் ஏறக்குறைய 29% — எனவே அவற்றில் அதிகமானவற்றை வெல்வது ஒட்டுமொத்தப் பங்கை விரைவாக உயர்த்துகிறது. செட் புள்ளிகளும் மேட்ச் புள்ளிகளும் அரிதானவை; எனவே ஏறக்குறைய 70% என்ற பெரிய முன்னிலையுடன் மட்டுமே அவை போட்டியின் முடிவைச் சாய்க்கின்றன.

முப்பத்தைந்து ஆண்டுகாலப் போட்டிகள்

1991-க்கும் 2025-க்கும் இடையே, ஆண்கள் ATP போட்டிகளில் 96,826-இல் 4,530 போட்டிகள் (4.68%) குறைவான புள்ளிகளை வென்ற வீரரால் வெல்லப்பட்டன. புள்ளிகள் ஒன்றையொன்று சாராதவை என்று கொண்டால், கணிப்பு 3,892: உண்மையான எண்ணிக்கை 16% அதிகம்; சர்வை (serve) கணக்கில் எடுத்துக்கொண்ட பிறகும் 5% அதிகம். குறைவான புள்ளிகளுடன் வெல்லப்பட்ட 166 Grand Slam போட்டிகளில், வென்றவர்கள் சாதாரணப் புள்ளிகளில் 49.1% எடுத்தனர்; ஆனால் செட் புள்ளிகளில் 51.1%, மேட்ச் புள்ளிகளில் 61.9%. மற்ற சீசன்களில் அளக்கப்பட்ட, பிரேக் புள்ளிகளில் (break points) ஒரு வீரர் காட்டும் நிதானமும் முடிவுகளைக் கணிக்கிறது: அதே பங்கு புள்ளிகளுடன், எதிராளியை விட ஒரு சதவீதப் புள்ளி சிறப்பாக இருப்பது, வெல்வதற்கான வாய்ப்பு விகிதத்தை (odds) ஏறக்குறைய 1.08 மடங்கு பெருக்குகிறது.

Federer முரண்பாடு, மறுகணக்கில்

Federer ஒரு விசித்திரமான சாதனையை வைத்திருக்கிறார்: எதிராளியை விட அதிகப் புள்ளிகளை வென்ற பிறகும் தோற்ற 36 போட்டிகள் — வேறு எவரையும் விட அதிகம். ஆனால் Federer எதிராளியை விட அதிகப் புள்ளிகளை அவ்வளவு அடிக்கடி வென்றதால், அத்தகைய போட்டியை வெல்வதற்கான வாய்ப்புகளை விட அதைத் தோற்பதற்கான வாய்ப்புகள் மிக அதிகமாக இருந்தன. நியாயமான ஒப்பீடு, சார்பற்ற புள்ளிகள் கணிப்பதுடன்தான்: 36-க்குப் பதிலாக அத்தகைய 25.6 தோல்விகள், 9-க்குப் பதிலாகக் குறைவான புள்ளிகளுடன் 15.6 வெற்றிகள். ஆக, 36 என்ற சாதனை ஓரளவு ஒரு கணக்கீட்டு விளைவு, ஓரளவு ஒரு சிறிய பற்றாக்குறை: மொத்தத்தில், புள்ளிகள் குறிப்பதை விட ஏறக்குறைய 17 நெருக்கமான போட்டிகள் குறைவு; ஆசிரியர்கள் இதை நிரூபணம் அல்ல, ஒரு சுட்டுதல் மட்டுமே என்கிறார்கள். Pete Sampras, Andre Agassi, Andy Murray, Rafael Nadal ஆகிய அனைவரும் எதிர்பார்த்ததை விட அதிகமான நெருக்கமான போட்டிகளை வென்றனர்.

Fognini முரண்பாடு

மறுமுனையில் Fabio Fognini நிற்கிறார். 774 போட்டிகளில், Fognini 124,623 புள்ளிகளில் 61,624, அதாவது 49.4% வென்றார் — இருந்தும் 396 போட்டிகள், அதாவது 51.2% வென்றார். சார்பற்ற புள்ளிகள் 47.5%-ஐயே தந்திருக்கும். ரகசியம் பிரேக் புள்ளிகளில் இல்லை; புள்ளிகள் செட்களுக்கு இடையே எப்படிப் பரவியுள்ளன என்பதில் உள்ளது: நெருக்கமான செட்களில் 56.6% வெற்றி; தோற்ற செட்கள் பெரும்பாலும் ஒருதலைப்பட்சமானவை — 18% செட்கள் 6–0 அல்லது 6–1 என முடிந்தன, Federer-க்கு இது 5%. ஏற்கெனவே கைநழுவிய ஒரு செட்டில் இழக்கும் புள்ளிகளுக்கு எந்த விலையும் இல்லை. ஆய்வு செய்யப்பட்ட 328 வீரர்களில் இருபத்து மூன்று பேர், பாதிக்கும் குறைவான புள்ளிகளுடன் தங்கள் போட்டிகளில் பாதிக்கும் மேல் வென்றனர்.

எதிர்பார்ப்புக்கு மேலே அல்லது கீழே வெல்லப்பட்ட நெருக்கமான போட்டிகள்: மேலே Fognini, கீழே Federer (இடது); பாதிக்கும் குறைவான புள்ளிகளுடன் பெரும்பாலான போட்டிகளை வென்ற வீரர்கள் (மேல் வலது). — படம் 6, Martín, Martínez & Buldú (2026), arXiv:2611.03702.

இந்த மாதிரி வேண்டுமென்றே மிக எளிமையாக வைக்கப்பட்டுள்ளது: சர்வ் இல்லை, ஒரு போட்டி முழுவதும் நிகழ்தகவுகள் மாறாதவை, ஒரே நிலையிலான தீர்க்கமான புள்ளிகள் அனைத்தும் ஒன்றுபோலவே கருதப்படுகின்றன, தரவுகளில் ஆண்கள் டென்னிஸ் மட்டுமே. கட்டுரையின் கடைசி வரி Federer-இன் சொற்களைக் கடன் வாங்குகிறது — “இது ஒரு புள்ளி மட்டுமே” — மேலும் இவ்வாறு சேர்க்கிறது: “ஆனால் எல்லாப் புள்ளிகளும் சமமானவை அல்ல.”