شرائح أرخميدس لا تصحّ إلا على الكرة

تبدأ الورقة بأحجية: هل يمكن تغطية قرص قطره 100 وحدة بـ99 شريطًا لا نهائيًا، عرض كل منها وحدة واحدة؟ يكتب ميجيا لاي (Mijia Lai)، من كلية العلوم الرياضية في جامعة شنغهاي جياو تونغ، أن الحل «يعيدنا أكثر من ألفي عام إلى إحدى لحظات “وجدتها” لدى أرخميدس».

شريط لا تبالي مساحته بموضعه

مبرهنة أرخميدس. على كرة نصف قطرها 1، تكون مساحة المنطقة الواقعة بين مستويين متوازيين يقطع كلاهما الكرة، وتفصل بينهما مسافة h، مساوية لـ2πh.

اللافت هو ما تُسقطه الصيغة: موضع الشريط. قرب خط الاستواء أو بجوار أحد القطبين، لا يهم إلا المسافة h.

تلميح الورقة لحل الأحجية هو رفع الأشرطة من القرص المسطح إلى كرة، حيث تصبح أحزمة. واتّباع هذا التلميح مع الصيغة يعطي الجواب. كرة قطرها 100 وحدة نصف قطرها 50 ومساحتها 4π × 50² = 10,000π. وكل حزام بعرض وحدة واحدة يغطي 2π × 50 × 1 = 100π. وتسعة وتسعون منها تغطي 9,900π على الأكثر — وهذا لا يكفي. إذن لا، لا يمكن للأشرطة أن تغطي القرص.

السؤال المعاكس

هل تميّز هذه الخاصية الكرة وحدها؟ بالنسبة إلى السطوح المحدّبة — الأشكال الخالية من الانبعاجات — ومع اشتراط الخاصية لكل عرض ممكن للمسافة، فالجواب معروف منذ زمن طويل؛ وتعيده الورقة إلى بلاشكه (Blaschke). وطرح الرياضي محمد غومي (Mohammad Ghomi) سؤالًا أدق على منتدى MathOverflow في أكتوبر 2017: إذا كانت المساحة بين مستويين متوازيين هي نفسها لمسافة ثابتة واحدة، كلما قطع المستويان سطحًا محدّبًا، فهل يجب أن يكون هذا السطح كرة؟

يبرهن لاي أنه يجب ذلك، ويذهب أبعد.

المبرهنة A. خذ سطحًا أملس ومغلقًا ومتصلًا في الفضاء. افترض وجود مسافة h، أصغر من أدنى عرض للسطح، بحيث تكون مساحة كل شريحة بعرض h — في كل اتجاه وفي كل موضع يقطع فيه المستويان السطح — مساوية لـ2πh. عندئذ يكون السطح كرة نصف قطرها 1.

التحدّب ليس مفترضًا: إنه جزء من النتيجة.

خطوتان، ومنعطف عبر الموجات

أولًا، لا انبعاجات. لشرط الشرائح نتيجة هندسية: حيث كان السطح سينحني إلى الداخل، مبتعدًا عن غلافه الخارجي، يُرغم الشرط كمية تُسمّى الانحناء المتوسط على أن تكون صفرًا أو سالبة. ويبيّن لاي أن هذا يؤدي إلى تناقض، مستخدمًا أداة كلاسيكية لهذا النوع من المعادلات، هي مبدأ القيمة العظمى لهوبف (Hopf). وبما أن الانبعاجات غير مسموح بها، يجب أن يكون السطح محدّبًا، بل منحنيًا إلى الخارج عند كل نقطة.

ثم، كرة فقط. بالنسبة إلى سطح محدّب، يجعل شرط الشرائح طريقة توزّع المساحة بحسب الارتفاع تتكرر كل h. ومتوسط هذا النمط المتكرر على كل الاتجاهات ينتج حلًا لـمعادلة الموجة يتكرر في الزمن. ويتبيّن أن قيمته الابتدائية مرتبطة بـالجهد النيوتوني — من النوع الذي تُنتجه الكتلة أو الشحنة الكهربائية — الذي سيُحدثه السطح لو كان مطليًا بانتظام. ونتيجة وحدانية لمثل هذه الموجات الدورية، مبرهنة في ملحق، تُرغم هذا الجهد حينئذ على أن يكون ثابتًا داخل السطح وخارجه. ومبرهنة تناظر معروفة، تعود إلى رايشل (Reichel)، تقول إن كرة مصمتة وحدها يمكنها أن تُنتج مثل هذا الجهد. وأخيرًا تحدد صيغة أرخميدس نصف قطرها بـ1.

ويتناول قسم منفصل وأوّلي الحالة الخاصة التي يكون فيها عرض السطح في اتجاه ما عددًا صحيحًا من المسافات h.

مساعدة من ذكاء اصطناعي

في شكره، يشكر المؤلف نظام الذكاء الاصطناعي ChatGPT 6 Astra «على المساعدة في استراتيجيات البرهان»، ويضيف أن الحجة الأولية في القسم الأخير وُجدت قبل تلك المساعدة، ويتحمل مسؤولية التحقق من البرهان وكتابته. والنتيجة نسخة أولية (preprint) لم تخضع بعد لمراجعة الأقران.

من أحجية عن أشرطة على قرص إلى الموجات الدورية والسطوح المشحونة، ينتهي البرهان حيث بدأ أرخميدس: شريط عرضه h، ومساحة قدرها 2πh.