AS FATIAS DE ARQUIMEDES SÓ FUNCIONAM NA ESFERA

O artigo começa com um enigma: é possível cobrir um disco de 100 unidades de diâmetro com 99 faixas infinitas, cada uma com 1 unidade de largura? A solução, escreve Mijia Lai, da Escola de Ciências Matemáticas da Universidade Jiao Tong de Xangai, “nos leva de volta mais de dois milênios, a um dos momentos Eureka de Arquimedes”.

Uma faixa cuja área ignora sua posição

Teorema de Arquimedes. Numa esfera de raio 1, a região entre dois planos paralelos que cortam a esfera, a uma distância h um do outro, tem área 2πh.

O mais impressionante é o que a fórmula deixa de fora: onde a faixa está. Perto do equador ou junto a um polo, só a distância h conta.

A dica do artigo para o enigma é levantar as faixas do disco plano para uma esfera, onde elas se tornam faixas esféricas. Seguir essa dica com a fórmula dá a resposta. Uma esfera de 100 unidades de diâmetro tem raio 50 e área 4π × 50² = 10.000π. Cada faixa de 1 unidade de largura cobre 2π × 50 × 1 = 100π. Noventa e nove delas cobrem no máximo 9.900π — não é suficiente. Então não: as faixas não conseguem cobrir o disco.

A pergunta inversa

Essa propriedade caracteriza a esfera? Para superfícies convexas — formas sem reentrâncias — e com a propriedade exigida para todas as larguras, a resposta é conhecida há muito tempo; o artigo a remonta a Blaschke. O matemático Mohammad Ghomi fez uma pergunta mais precisa no fórum MathOverflow em outubro de 2017: se a área entre dois planos paralelos é a mesma para uma única distância fixa, sempre que ambos os planos cortam uma superfície convexa, essa superfície precisa ser uma esfera?

Lai prova que sim, e vai além.

Teorema A. Tome uma superfície lisa, fechada e conexa no espaço. Suponha que exista uma distância h, menor que a largura mínima da superfície, tal que toda fatia de largura h — em todas as direções e em todas as posições em que ambos os planos cortam a superfície — tenha área 2πh. Então a superfície é uma esfera de raio 1.

A convexidade não é suposta: ela faz parte da conclusão.

Dois passos, um desvio pelas ondas

Primeiro, nenhuma reentrância. A condição das fatias tem uma consequência geométrica: onde a superfície se curvaria para dentro, afastando-se de seu envoltório externo, ela obriga uma grandeza chamada curvatura média a ser zero ou negativa. Lai mostra que isso leva a uma contradição, usando uma ferramenta clássica para esse tipo de equação, o princípio do máximo de Hopf. Sem reentrâncias possíveis, a superfície precisa ser convexa e, na verdade, curvada para fora em todos os pontos.

Depois, só uma esfera. Para uma superfície convexa, a condição das fatias faz com que a distribuição da área em função da altura se repita a cada h. Tirar a média desse padrão repetitivo em todas as direções produz uma solução da equação de onda que se repete no tempo. Seu valor inicial, como se verifica, está ligado ao potencial newtoniano — do tipo produzido por massa ou carga elétrica — que a superfície criaria se fosse recoberta de forma uniforme. Um resultado de unicidade para essas ondas periódicas, provado num apêndice, obriga então esse potencial a ser constante dentro e fora da superfície. Um teorema de simetria conhecido, devido a Reichel, diz que só uma bola pode produzir tal potencial. A fórmula de Arquimedes, por fim, fixa seu raio em 1.

Uma seção à parte, elementar, trata do caso especial em que a largura da superfície em alguma direção é um número inteiro de distâncias h.

Ajuda de uma IA

Nos agradecimentos, o autor agradece ao sistema de IA ChatGPT 6 Astra “pela assistência com estratégias de demonstração”, acrescenta que o argumento elementar da última seção foi encontrado antes dessa ajuda e assume a responsabilidade pela verificação e redação da prova. O resultado é um preprint e ainda não passou por revisão por pares.

De um enigma sobre faixas num disco a ondas periódicas e superfícies carregadas, a prova termina onde Arquimedes começou: uma faixa de largura h e uma área de 2πh.