ARŞİMET’İN DİLİMLERİ YALNIZCA KÜREDE İŞE YARIYOR

Makale bir bilmeceyle açılıyor: 100 birim çapındaki bir disk, her biri 1 birim genişliğinde 99 sonsuz şeritle kaplanabilir mi? Şanghay Jiao Tong Üniversitesi Matematik Bilimleri Okulu’ndan Mijia Lai, çözümün “bizi iki bin yıldan fazla geriye, Arşimet’in Eureka anlarından birine götürdüğünü” yazıyor.

Alanı konumunu umursamayan bir kuşak

Arşimet teoremi. Yarıçapı 1 olan bir kürede, ikisi de küreyi kesen ve aralarında h mesafesi bulunan iki paralel düzlem arasındaki bölgenin alanı 2πh’dir.

Çarpıcı olan, formülün dışarıda bıraktığı şeydir: kuşağın nerede olduğu. Ekvatora yakın ya da bir kutba yakın, yalnızca h mesafesi önemlidir.

Makalenin bilmece için verdiği ipucu, şeritleri düz diskten bir kürenin üzerine kaldırmaktır; orada kuşaklara dönüşürler. Bu ipucunu formülle izlemek cevabı verir. 100 birim çapındaki bir kürenin yarıçapı 50, alanı 4π × 50² = 10.000π’dir. 1 birim genişliğindeki her kuşak 2π × 50 × 1 = 100π kaplar. Doksan dokuz tanesi en fazla 9.900π kaplar — yetmez. Yani hayır, şeritler diski kaplayamaz.

Tersine soru

Bu özellik küreyi tek başına ayırt eder mi? Dışbükey yüzeyler — hiç çukuru olmayan şekiller — için ve özelliğin her mesafe genişliğinde sağlanması istendiğinde cevap uzun zamandır biliniyor; makale bunu Blaschke’ye dayandırıyor. Matematikçi Mohammad Ghomi, Ekim 2017’de MathOverflow forumunda daha keskin bir soru sordu: iki düzlem de dışbükey bir yüzeyi kestiği sürece, iki paralel düzlem arasındaki alan tek bir sabit mesafe için hep aynıysa, bu yüzey küre olmak zorunda mı?

Lai öyle olmak zorunda olduğunu kanıtlıyor ve daha da ileri gidiyor.

Teorem A. Uzayda pürüzsüz, kapalı, bağlantılı bir yüzey alın. Yüzeyin en dar genişliğinden küçük öyle bir h mesafesi olsun ki, h genişliğindeki her dilim — her yönde ve iki düzlemin de yüzeyi kestiği her konumda — 2πh alanına sahip olsun. O zaman yüzey yarıçapı 1 olan bir küredir.

Dışbükeylik varsayılmıyor: sonucun bir parçası.

İki adım, dalgalardan geçen bir dolambaç

Önce, çukur yok. Dilim koşulunun geometrik bir sonucu var: yüzeyin dış zarfından uzaklaşarak içe doğru kıvrılacağı yerde, ortalama eğrilik (mean curvature) denen bir niceliği sıfır ya da negatif olmaya zorluyor. Lai, bu tür denklemler için klasik bir araç olan Hopf maksimum ilkesini kullanarak bunun bir çelişkiye yol açtığını gösteriyor. Çukura izin verilmeyince yüzey dışbükey olmak zorunda, hatta her noktada dışa doğru kıvrılmış.

Sonra, yalnızca küre. Dışbükey bir yüzeyde dilim koşulu, alanın yüksekliğe göre dağılışının her h’de kendini tekrarlamasına yol açıyor. Bu tekrarlanan deseni tüm yönler üzerinden ortalamak, zamanda tekrarlanan bir dalga denklemi çözümü üretiyor. Bu çözümün başlangıç değeri, yüzey düzgünce kaplandığında üreteceği Newton potansiyeline — kütle ya da elektrik yükünün ürettiği türden — bağlı çıkıyor. Bir ekte kanıtlanan, bu tür periyodik dalgalara ilişkin bir teklik sonucu, bu potansiyeli yüzeyin içinde ve ötesinde sabit olmaya zorluyor. Reichel’e ait bilinen bir simetri teoremi, böyle bir potansiyeli yalnızca bir topun üretebileceğini söylüyor. Arşimet’in formülü de sonunda yarıçapını 1’e sabitliyor.

Ayrı ve temel düzeyde bir bölüm, yüzeyin bir yöndeki genişliğinin h mesafesinin tam sayı katı olduğu özel durumu ele alıyor.

Bir yapay zekâdan yardım

Yazar teşekkür bölümünde yapay zekâ sistemi ChatGPT 6 Astra’ya “kanıt stratejilerindeki yardımı için” teşekkür ediyor, son bölümdeki temel argümanın bu yardımdan önce bulunduğunu ekliyor ve kanıtın denetlenmesi ile yazılmasının sorumluluğunu üstleniyor. Sonuç bir ön baskıdır ve henüz hakem değerlendirmesinden geçmemiştir.

Bir disk üzerindeki şeritlerle ilgili bir bilmeceden periyodik dalgalara ve yüklü yüzeylere uzanan kanıt, Arşimet’in başladığı yerde bitiyor: h genişliğinde bir kuşak ve 2πh’lik bir alan.