ارشمیدس دیاں پھاڑیاں صرف گولے تے ای چلدیاں نیں

مقالہ اک بجھارت نال کھلدا اے: کیہ 100 اکائیاں چوڑی اک ٹکی نوں 99 بےانت پٹیاں نال، ہر اک 1 اکائی چوڑی، ڈھکیا جا سکدا اے؟ شنگھائی جیاؤ تونگ یونیورسٹی دے سکول آف میتھمیٹیکل سائنسز دے میجیا لائی لکھدے نیں کہ ایہدا حل “سانوں دو ہزار سال توں ودھ پچھے ارشمیدس دے یوریکا لمحیاں وچوں اک تک لے جاندا اے”۔

اک پٹی جیہدا رقبہ اوہدی تھاں دی پرواہ نئیں کردا

ارشمیدس دا مسئلہ (theorem)۔ نصف قطر 1 والے گولے تے، دو متوازی سطحاں وچکار والا علاقہ، جیہڑیاں دوویں گولے نوں کٹدیاں نیں تے جنہاں وچکار h دی وتھ اے، اوہدا رقبہ 2πh اے۔

حیران کن گل اوہ اے جیہڑی فارمولا چھڈ دیندا اے: پٹی کتھے اے۔ خط استوا دے نیڑے ہووے یا کسے قطب دے کول، صرف وتھ h ای معنی رکھدی اے۔

بجھارت لئی مقالے دا اشارہ ایہ اے کہ پٹیاں نوں سدھی ٹکی توں چک کے اک گولے اتے رکھو، جتھے اوہ گولے دیاں پٹیاں بن جاندیاں نیں۔ ایس اشارے نوں فارمولے نال ورتو تے جواب مل جاندا اے۔ 100 اکائیاں چوڑے گولے دا نصف قطر 50 تے رقبہ 4π × 50² = 10,000π اے۔ 1 اکائی چوڑی ہر پٹی 2π × 50 × 1 = 100π ڈھکدی اے۔ نڑینوے پٹیاں ودھ توں ودھ 9,900π ڈھکدیاں نیں — کافی نئیں۔ ایس لئی نئیں، پٹیاں ٹکی نوں نئیں ڈھک سکدیاں۔

الٹا سوال

کیہ ایہ خوبی گولے نوں ای وکھرا کردی اے؟ محدب (convex) سطحاں لئی — اجیہیاں شکلاں جنہاں وچ کوئی ڈونگھ نئیں — تے جدوں خوبی ہر وتھ لئی منگی جاوے، جواب بہت چر توں پتہ اے؛ مقالہ ایہنوں بلاشکے (Blaschke) تک لے جاندا اے۔ ریاضی دان محمد غومی نے اکتوبر 2017 وچ MathOverflow فورم تے اک ہور تکھا سوال پچھیا: جے دو متوازی سطحاں وچکار رقبہ اک اکلی پکی وتھ لئی اکو جیہا ہووے، جدوں وی دوویں سطحاں اک محدب سطح نوں کٹن، تے کیہ اوس سطح نوں گولا ہونا پوے گا؟

لائی ثابت کردے نیں کہ ہونا پوے گا، تے ہور اگے ودھدے نیں۔

مسئلہ A۔ خلا وچ اک ملائم، بند، جڑی ہوئی سطح لوو۔ منو کہ اک وتھ h اے، سطح دی سب توں پتلی چوڑائی توں نکی، اجیہی کہ h چوڑی ہر پھاڑی — ہر رخ وچ تے ہر اوس تھاں جتھے دوویں سطحاں ایہنوں کٹدیاں نیں — دا رقبہ 2πh اے۔ تاں سطح نصف قطر 1 والا گولا اے۔

محدب ہونا منیا نئیں گیا: ایہ نتیجے دا حصہ اے۔

دو قدم، لہراں وچوں اک ولاواں

پہلاں، کوئی ڈونگھ نئیں۔ پھاڑی والی شرط دا اک جیومیٹری نتیجہ اے: جتھے سطح اپنے باہرلے غلاف توں دور اندر ول مڑے گی، اوتھے ایہ اک مقدار نوں، جیہنوں اوسط خمیدگی (mean curvature) آکھدے نیں، صفر یا منفی ہون تے مجبور کردی اے۔ لائی وکھاندے نیں کہ ایہ اک تضاد ول لے جاندا اے، ایہو جیہیاں مساواتاں لئی اک کلاسیکی اوزار، ہوپف دے زیادہ توں زیادہ اصول (Hopf maximum principle) نوں ورت کے۔ ڈونگھ دی اجازت نہ ہووے تے سطح نوں محدب ہونا پیندا اے، سگوں ہر نقطے تے باہر ول مڑی ہوئی۔

فیر، صرف گولا۔ محدب سطح لئی، پھاڑی والی شرط ایس گل نوں کہ رقبہ اچائی مطابق کیویں ونڈیا جاندا اے، ہر h بعد دہراندی اے۔ ایس دہرائے جان والے نمونے دا سارے رخاں تے اوسط کڈھن نال لہر مساوات (wave equation) دا اک حل بندا اے جیہڑا ویلے وچ دہرایا جاندا اے۔ ایہدی شروع والی قیمت نیوٹنی پوٹینشل (Newtonian potential) نال جڑی نکلدی اے — اوہ قسم جیہڑی کمیت یا بجلی دا چارج پیدا کردا اے — جیہڑا سطح پیدا کرے گی جے ایہنوں اکو جیہا لیپیا جاوے۔ ایہو جیہیاں دوری لہراں لئی اک یکتائی دا نتیجہ، جیہڑا اک ضمیمے وچ ثابت کیتا گیا اے، فیر ایس پوٹینشل نوں سطح دے اندر تے پرے مستقل ہون تے مجبور کردا اے۔ رائشل (Reichel) دا اک جانیا پچھانیا تشاکل (symmetry) مسئلہ آکھدا اے کہ صرف اک ٹھوس گولا ای اجیہا پوٹینشل پیدا کر سکدا اے۔ آخر وچ ارشمیدس دا فارمولا ایہدا نصف قطر 1 مقرر کردا اے۔

اک وکھرا، سادہ حصہ اوس خاص حالت نوں ویکھدا اے جدوں کسے رخ وچ سطح دی چوڑائی وتھ h دا پورا گنا ہووے۔

اک AI توں مدد

اپنے شکریے وچ، لکھاری AI نظام ChatGPT 6 Astra دا “ثبوت دیاں حکمت عملیاں وچ مدد لئی” شکریہ ادا کردا اے، نال ایہ وی دسدا اے کہ آخری حصے دی سادہ دلیل ایس مدد توں پہلاں لبھ لئی گئی سی، تے ثبوت نوں جانچن تے لکھن دی ذمہ داری آپ لیندا اے۔ نتیجہ اک پری پرنٹ اے تے اجے ہم پیشہ ماہراں نے ایہدی جانچ نئیں کیتی۔

ٹکی اتے پٹیاں دی اک بجھارت توں دوری لہراں تے چارج والیاں سطحاں تک، ثبوت اوتھے مکدا اے جتھوں ارشمیدس نے شروع کیتا سی: h چوڑی اک پٹی، تے 2πh دا رقبہ۔