LES TRANCHES D'ARCHIMÈDE N'EXISTENT QUE SUR LA SPHÈRE

L’article s’ouvre sur une énigme : peut-on couvrir un disque de 100 unités de diamètre avec 99 bandes infinies, larges chacune d’une unité ? La solution, écrit Mijia Lai, de l’école de sciences mathématiques de l’université Jiao Tong de Shanghai, « nous ramène plus de deux millénaires en arrière, à l’un des moments Eurêka d’Archimède ».

Une bande dont l’aire ignore sa position

Théorème d’Archimède. Sur une sphère de rayon 1, la région comprise entre deux plans parallèles qui coupent tous deux la sphère, séparés d’une distance h, a une aire de 2πh.

Le plus frappant est ce que la formule laisse de côté : l’endroit où se trouve la bande. Près de l’équateur ou tout près d’un pôle, seul l’écart h compte.

L’indice donné par l’article pour l’énigme : relever les bandes du disque plat sur une sphère, où elles deviennent des bandes sphériques. Suivre cet indice avec la formule donne la réponse. Une sphère de 100 unités de diamètre a un rayon de 50 et une aire de 4π × 50² = 10 000π. Chaque bande d’une unité de large en couvre 2π × 50 × 1 = 100π. Quatre-vingt-dix-neuf bandes en couvrent au plus 9 900π — pas assez. Donc non, les bandes ne peuvent pas couvrir le disque.

La question à l’envers

Cette propriété désigne-t-elle la sphère, et elle seule ? Pour les surfaces convexes — sans creux — et avec la propriété exigée pour tous les écarts, la réponse est connue depuis longtemps ; l’article la fait remonter à Blaschke. Le mathématicien Mohammad Ghomi a posé une question plus fine sur le forum MathOverflow en octobre 2017 : si l’aire entre deux plans parallèles est la même pour un seul écart fixé, dès que les deux plans coupent une surface convexe, cette surface est-elle forcément une sphère ?

Lai démontre que oui, et va plus loin.

Théorème A. Prenons une surface lisse, fermée et d’un seul tenant dans l’espace. Supposons qu’il existe un écart h, plus petit que la largeur la plus faible de la surface, tel que toute tranche de largeur h — dans toutes les directions et à toutes les positions où les deux plans coupent la surface — ait une aire de 2πh. Alors la surface est une sphère de rayon 1.

La convexité n’est pas supposée : elle fait partie de la conclusion.

Deux étapes, un détour par les ondes

D’abord, pas de creux. La condition sur les tranches a une conséquence géométrique : là où la surface se creuserait, à l’écart de son enveloppe extérieure, elle force une grandeur appelée courbure moyenne à être nulle ou négative. Lai montre que cela mène à une contradiction, grâce à un outil classique pour ce type d’équations, le principe du maximum de Hopf. Sans creux possible, la surface est convexe, et même bombée vers l’extérieur en chaque point.

Ensuite, rien qu’une sphère. Pour une surface convexe, la condition sur les tranches fait que la répartition de l’aire selon la hauteur se répète tous les h. En moyennant ce motif répété sur toutes les directions, on obtient une solution de l’équation des ondes qui se répète dans le temps. Sa valeur de départ se révèle liée au potentiel newtonien — celui que produisent une masse ou une charge électrique — que créerait la surface si elle en était uniformément recouverte. Un résultat d’unicité pour ces ondes périodiques, démontré en annexe, force alors ce potentiel à être constant à l’intérieur comme au-delà de la surface. Un théorème de symétrie connu, dû à Reichel, dit que seule une boule peut produire un tel potentiel. La formule d’Archimède fixe enfin son rayon à 1.

Une section séparée et élémentaire traite le cas particulier où la largeur de la surface dans une direction vaut un nombre entier d’écarts h.

L’aide d’une IA

Dans ses remerciements, l’auteur remercie le système d’IA ChatGPT 6 Astra « pour son aide sur les stratégies de preuve », précise que l’argument élémentaire de la dernière section a été trouvé avant cette aide, et assume la vérification et la rédaction de la preuve. Le résultat est un preprint, pas encore relu par les pairs.

D’une énigme de bandes sur un disque aux ondes périodiques et aux surfaces chargées, la preuve s’achève là où Archimède avait commencé : une bande de largeur h, et une aire de 2πh.