СРЕЗЫ АРХИМЕДА РАБОТАЮТ ТОЛЬКО НА СФЕРЕ

Статья начинается с головоломки: можно ли покрыть круг диаметром 100 единиц 99 бесконечными полосами шириной 1 единица каждая? Решение, пишет Мицзя Лай из Школы математических наук Шанхайского университета Цзяотун, «возвращает нас более чем на два тысячелетия назад, к одному из моментов „Эврика!“ Архимеда».

Пояс, площадь которого не зависит от положения

Теорема Архимеда. На сфере радиуса 1 область между двумя параллельными плоскостями, которые обе пересекают сферу и находятся на расстоянии h друг от друга, имеет площадь 2πh.

Поразительно то, чего в формуле нет: где находится пояс. У экватора или вблизи полюса — значение имеет только расстояние h.

Подсказка к головоломке в статье — перенести полосы с плоского круга на сферу, где они становятся поясами. Если последовать этой подсказке с помощью формулы, получится ответ. Сфера диаметром 100 единиц имеет радиус 50 и площадь 4π × 50² = 10 000π. Каждый пояс шириной 1 единица покрывает 2π × 50 × 1 = 100π. Девяносто девять таких поясов покрывают не более 9 900π — недостаточно. Значит, нет: полосы не могут покрыть круг.

Обратный вопрос

Выделяет ли это свойство именно сферу? Для выпуклых поверхностей — форм без вмятин — и при условии, что свойство выполняется для любой ширины, ответ давно известен; статья возводит его к Бляшке. Математик Мохаммад Гоми задал более острый вопрос на форуме MathOverflow в октябре 2017 года: если площадь между двумя параллельными плоскостями одинакова для одного фиксированного расстояния всякий раз, когда обе плоскости пересекают выпуклую поверхность, обязана ли эта поверхность быть сферой?

Лай доказывает, что обязана, и идёт дальше.

Теорема A. Возьмём гладкую замкнутую связную поверхность в пространстве. Предположим, что существует расстояние h, меньшее наименьшей ширины поверхности, такое что каждый срез ширины h — в любом направлении и в любом положении, где обе плоскости пересекают поверхность, — имеет площадь 2πh. Тогда поверхность — сфера радиуса 1.

Выпуклость не предполагается: она входит в вывод.

Два шага и обходной путь через волны

Сначала — никаких вмятин. У условия на срезы есть геометрическое следствие: там, где поверхность изгибалась бы внутрь, прочь от своей внешней оболочки, оно заставляет величину, называемую средней кривизной, быть нулевой или отрицательной. Лай показывает, что это приводит к противоречию, используя классический инструмент для таких уравнений — принцип максимума Хопфа. Раз вмятины невозможны, поверхность должна быть выпуклой и, более того, изогнутой наружу в каждой точке.

Затем — только сфера. Для выпуклой поверхности условие на срезы заставляет распределение площади по высоте повторяться через каждые h. Усреднение этого повторяющегося узора по всем направлениям даёт решение волнового уравнения, периодическое во времени. Его начальное значение, как оказывается, связано с ньютоновским потенциалом — тем, который создаёт масса или электрический заряд, — который создавала бы поверхность, будучи равномерно покрытой. Результат о единственности для таких периодических волн, доказанный в приложении, затем заставляет этот потенциал быть постоянным внутри и вне поверхности. Известная теорема о симметрии, принадлежащая Райхелю, утверждает, что такой потенциал может создавать только шар. Наконец, формула Архимеда задаёт его радиус равным 1.

Отдельный элементарный раздел рассматривает частный случай, когда ширина поверхности в некотором направлении равна целому числу расстояний h.

Помощь от ИИ

В благодарностях автор благодарит систему ИИ ChatGPT 6 Astra «за помощь со стратегиями доказательства», добавляет, что элементарное рассуждение последнего раздела было найдено до этой помощи, и берёт на себя ответственность за проверку и изложение доказательства. Результат является препринтом и ещё не прошёл рецензирование.

От головоломки о полосах на круге до периодических волн и заряженных поверхностей — доказательство заканчивается там, где начинал Архимед: пояс ширины h и площадь 2πh.