ارشمیدس کی قاشیں صرف کرے پر کام کرتی ہیں

مقالہ ایک پہیلی سے شروع ہوتا ہے: کیا 100 اکائی قطر والی ایک قرص کو 99 لامتناہی پٹیوں سے ڈھکا جا سکتا ہے، جن میں سے ہر ایک 1 اکائی چوڑی ہو؟ شنگھائی جیاؤ تونگ یونیورسٹی کے اسکول آف میتھمیٹیکل سائنسز کے میجیا لائی لکھتے ہیں کہ اس کا حل “ہمیں دو ہزار سال سے زیادہ پیچھے، ارشمیدس کے ‘یوریکا’ والے لمحات میں سے ایک تک لے جاتا ہے”۔

ایک پٹی جس کا رقبہ اس کے مقام کی پروا نہیں کرتا

ارشمیدس کا مسئلہ۔ رداس 1 والے کرے پر، دو ایسی متوازی سطحوں کے درمیان کا خطہ، جو دونوں کرے کو کاٹتی ہوں اور ایک دوسرے سے h فاصلے پر ہوں، 2πh رقبہ رکھتا ہے۔

حیرت انگیز بات وہ ہے جو فارمولے میں شامل نہیں: پٹی کہاں واقع ہے۔ خطِ استوا کے قریب ہو یا کسی قطب کے پاس، صرف فاصلہ h اہمیت رکھتا ہے۔

پہیلی کے لیے مقالے کا اشارہ یہ ہے کہ پٹیوں کو چپٹی قرص سے اٹھا کر ایک کرے پر لے جائیں، جہاں وہ کمربند نما پٹیاں بن جاتی ہیں۔ فارمولے کے ساتھ اس اشارے پر عمل کرنے سے جواب مل جاتا ہے۔ 100 اکائی قطر والے کرے کا رداس 50 اور رقبہ 4π × 50² = 10,000π ہے۔ 1 اکائی چوڑی ہر پٹی 2π × 50 × 1 = 100π ڈھکتی ہے۔ ننانوے پٹیاں زیادہ سے زیادہ 9,900π ڈھکتی ہیں — جو کافی نہیں۔ تو نہیں، پٹیاں قرص کو نہیں ڈھک سکتیں۔

الٹا سوال

کیا یہ خاصیت کرے کو ممتاز کرتی ہے؟ محدب سطحوں کے لیے — یعنی بغیر گڑھوں والی شکلیں — اور جب یہ خاصیت ہر چوڑائی کے فاصلے پر درکار ہو، جواب مدت سے معلوم ہے؛ مقالہ اسے بلاشکے تک لے جاتا ہے۔ ریاضی دان محمد غومی نے اکتوبر 2017 میں MathOverflow فورم پر ایک زیادہ تیز سوال پوچھا: اگر دو متوازی سطحوں کے درمیان کا رقبہ ایک ہی مقررہ فاصلے کے لیے ہمیشہ یکساں ہو، جب بھی دونوں سطحیں کسی محدب سطح کو کاٹیں، تو کیا اس سطح کا کرہ ہونا لازم ہے؟

لائی ثابت کرتے ہیں کہ لازم ہے، اور اس سے آگے بھی جاتے ہیں۔

مسئلہ A۔ خلا میں ایک ہموار، بند اور مربوط سطح لیں۔ فرض کریں کہ ایک فاصلہ h موجود ہے، جو سطح کی کم ترین چوڑائی سے چھوٹا ہے، اس طرح کہ h چوڑائی کی ہر قاش — ہر سمت میں اور ہر اس مقام پر جہاں دونوں سطحیں اس سطح کو کاٹیں — 2πh رقبہ رکھتی ہے۔ تب وہ سطح رداس 1 کا ایک کرہ ہے۔

محدب ہونا فرض نہیں کیا جاتا: یہ نتیجے کا حصہ ہے۔

دو قدم، لہروں سے ہو کر ایک چکر

پہلے، کوئی گڑھا نہیں۔ قاش کی شرط کا ایک جیومیٹریائی نتیجہ ہے: جہاں سطح اپنے بیرونی خول سے ہٹ کر اندر کی طرف مڑتی، وہاں یہ شرط ایک مقدار کو، جسے اوسط خمیدگی (mean curvature) کہتے ہیں، صفر یا منفی ہونے پر مجبور کرتی ہے۔ لائی ایسی مساواتوں کے ایک کلاسیکی آلے، ہوپف کے اصولِ اعظم (Hopf maximum principle)، کی مدد سے دکھاتے ہیں کہ اس سے تضاد پیدا ہوتا ہے۔ جب گڑھوں کی اجازت نہیں، تو سطح کا محدب ہونا لازم ہے، بلکہ ہر نقطے پر باہر کی طرف خمیدہ ہونا۔

پھر، صرف کرہ۔ محدب سطح کے لیے قاش کی شرط اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ اونچائی کے لحاظ سے رقبے کی تقسیم ہر h کے بعد خود کو دہرائے۔ اس دہرائے جانے والے نمونے کا تمام سمتوں پر اوسط لینے سے لہری مساوات (wave equation) کا ایک ایسا حل ملتا ہے جو وقت میں دہرایا جاتا ہے۔ پتا چلتا ہے کہ اس کی ابتدائی قدر نیوٹنی پوٹینشل سے جڑی ہے — اس قسم کا پوٹینشل جو کمیت یا برقی بار پیدا کرتا ہے — جو یہ سطح پیدا کرتی اگر اس پر یکساں تہہ چڑھی ہوتی۔ ایسی دوری لہروں کے لیے یکتائی کا ایک نتیجہ، جو ضمیمے میں ثابت کیا گیا ہے، پھر اس پوٹینشل کو سطح کے اندر اور باہر مستقل رہنے پر مجبور کرتا ہے۔ رائشل سے منسوب تشاکل کا ایک معروف مسئلہ کہتا ہے کہ ایسا پوٹینشل صرف ایک ٹھوس گیند ہی پیدا کر سکتی ہے۔ آخرکار ارشمیدس کا فارمولا اس کا رداس 1 مقرر کر دیتا ہے۔

ایک الگ، ابتدائی حصہ اس خاص صورت سے نمٹتا ہے جب کسی سمت میں سطح کی چوڑائی فاصلہ h کی پوری تعداد کے برابر ہو۔

مصنوعی ذہانت کی مدد

اظہارِ تشکر میں مصنف مصنوعی ذہانت کے نظام ChatGPT 6 Astra کا “ثبوت کی حکمت عملیوں میں مدد کے لیے” شکریہ ادا کرتے ہیں، یہ اضافہ کرتے ہیں کہ آخری حصے کی ابتدائی دلیل اس مدد سے پہلے مل گئی تھی، اور ثبوت کی جانچ اور تحریر کی ذمہ داری قبول کرتے ہیں۔ یہ نتیجہ ایک پری پرنٹ ہے اور ابھی اس کا ہم مرتبہ جائزہ (peer review) نہیں ہوا۔

قرص پر پٹیوں کی ایک پہیلی سے لے کر دوری لہروں اور برقی بار والی سطحوں تک، ثبوت وہیں ختم ہوتا ہے جہاں سے ارشمیدس نے آغاز کیا تھا: h چوڑائی کی ایک پٹی، اور 2πh کا رقبہ۔