আর্কিমিডিসের ফালি কেবল গোলকেই খাটে

গবেষণাপত্রটি শুরু হয় একটি ধাঁধা দিয়ে: ১০০ একক ব্যাসের একটি চাকতিকে কি ৯৯টি অসীম ফালি দিয়ে ঢাকা যায়, যাদের প্রতিটি ১ একক চওড়া? সাংহাই জিয়াও তং বিশ্ববিদ্যালয়ের গাণিতিক বিজ্ঞান স্কুলের মিজিয়া লাই (Mijia Lai) লেখেন, এর সমাধান “আমাদের দুই সহস্রাব্দেরও বেশি পেছনে, আর্কিমিডিসের এক ‘ইউরেকা’ মুহূর্তে ফিরিয়ে নিয়ে যায়”।

যে ফিতের ক্ষেত্রফল তার অবস্থানের তোয়াক্কা করে না

আর্কিমিডিসের উপপাদ্য। ব্যাসার্ধ ১-এর একটি গোলকে, এমন দুটি সমান্তরাল তলের মাঝের অঞ্চল, যারা দুজনেই গোলকটিকে ছেদ করে এবং পরস্পর থেকে h দূরত্বে, তার ক্ষেত্রফল 2πh।

চমকপ্রদ হলো সূত্রটি যা বাদ দেয়: ফিতেটি কোথায় আছে। বিষুবরেখার কাছে হোক বা কোনো মেরুর পাশে, শুধু ব্যবধান h-ই গোনা হয়।

ধাঁধার জন্য গবেষণাপত্রের ইঙ্গিত হলো সমতল চাকতির ফালিগুলোকে তুলে একটি গোলকের ওপর নিয়ে যাওয়া, যেখানে সেগুলো বলয় হয়ে যায়। এই ইঙ্গিত সূত্রসহ অনুসরণ করলেই উত্তর মেলে। ১০০ একক ব্যাসের গোলকের ব্যাসার্ধ ৫০ এবং ক্ষেত্রফল 4π × 50² = 10,000π। ১ একক চওড়া প্রতিটি বলয় ঢাকে 2π × 50 × 1 = 100π। নিরানব্বইটি বলয় ঢাকে বড়জোর 9,900π — যা যথেষ্ট নয়। সুতরাং না, ফালিগুলো চাকতিটিকে ঢাকতে পারে না।

উল্টো প্রশ্ন

এই ধর্ম কি গোলককে আলাদা করে চিনিয়ে দেয়? উত্তল তলের ক্ষেত্রে — যে আকৃতিতে কোনো টোল নেই — এবং ধর্মটি প্রতিটি ব্যবধানের জন্য দাবি করলে, উত্তর অনেক দিন ধরেই জানা; গবেষণাপত্রটি এর উৎস খুঁজে পায় ব্লাশকের (Blaschke) কাজে। গণিতবিদ মোহাম্মদ ঘোমি (Mohammad Ghomi) ২০১৭ সালের অক্টোবরে MathOverflow ফোরামে আরও তীক্ষ্ণ একটি প্রশ্ন করেন: দুটি সমান্তরাল তলের মাঝের ক্ষেত্রফল যদি একটিমাত্র নির্দিষ্ট ব্যবধানের জন্য সবসময় একই হয়, যখনই তল দুটি একটি উত্তল তলকে ছেদ করে, তবে কি সেই তলকে গোলক হতেই হবে?

লাই প্রমাণ করেন যে হতেই হবে, এবং আরও এগিয়ে যান।

উপপাদ্য A। মহাশূন্যে একটি মসৃণ, বদ্ধ, সংযুক্ত তল নিন। ধরুন এমন একটি ব্যবধান h আছে, যা তলটির সবচেয়ে সরু প্রস্থের চেয়ে ছোট, যাতে h প্রস্থের প্রতিটি ফালি — প্রতিটি দিকে এবং যেখানে তল দুটি তলটিকে ছেদ করে এমন প্রতিটি অবস্থানে — ক্ষেত্রফল 2πh। তাহলে তলটি ব্যাসার্ধ ১-এর একটি গোলক।

উত্তলতা ধরে নেওয়া হয়নি: সেটা সিদ্ধান্তেরই অংশ।

দুটি ধাপ, তরঙ্গের মধ্য দিয়ে একটি ঘুরপথ

প্রথমত, কোনো টোল নয়। ফালির শর্তের একটি জ্যামিতিক ফল আছে: যেখানে তলটি তার বাইরের আবরণ থেকে সরে ভেতরের দিকে বাঁকত, সেখানে এই শর্ত গড় বক্রতা নামের একটি রাশিকে শূন্য বা ঋণাত্মক হতে বাধ্য করে। লাই এ ধরনের সমীকরণের একটি ধ্রুপদি হাতিয়ার, হপফের (Hopf) সর্বোচ্চ মান নীতি, ব্যবহার করে দেখান যে এতে স্ববিরোধ তৈরি হয়। টোলের অনুমতি না থাকায় তলটিকে উত্তল হতেই হবে, আসলে প্রতিটি বিন্দুতে বাইরের দিকে বাঁকা।

তারপর, কেবল গোলক। উত্তল তলের ক্ষেত্রে, ফালির শর্তের কারণে উচ্চতা অনুযায়ী ক্ষেত্রফলের বিন্যাস প্রতি h-এ নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে। এই পুনরাবৃত্ত নকশাকে সব দিকের ওপর গড় করলে তরঙ্গ সমীকরণের এমন একটি সমাধান পাওয়া যায় যা সময়ে পুনরাবৃত্ত হয়। দেখা যায়, তার প্রাথমিক মান যুক্ত নিউটনীয় বিভবের সঙ্গে — ভর বা বৈদ্যুতিক আধান যে ধরনের বিভব তৈরি করে — যা তলটি সমভাবে প্রলেপিত হলে তৈরি করত। এমন পর্যাবৃত্ত তরঙ্গের একটি অনন্যতার ফল, যা পরিশিষ্টে প্রমাণিত, তখন এই বিভবকে তলের ভেতরে ও বাইরে ধ্রুবক হতে বাধ্য করে। রাইখেলের (Reichel) একটি পরিচিত প্রতিসাম্য উপপাদ্য বলে, কেবল একটি নিরেট বলই এমন বিভব তৈরি করতে পারে। শেষে আর্কিমিডিসের সূত্র তার ব্যাসার্ধ ১ নির্ধারণ করে।

একটি পৃথক, প্রাথমিক অংশ সেই বিশেষ ক্ষেত্রটি আলোচনা করে যেখানে কোনো দিকে তলটির প্রস্থ ব্যবধান h-এর পূর্ণসংখ্যা গুণিতক।

একটি AI-এর সাহায্য

কৃতজ্ঞতা স্বীকারে লেখক AI ব্যবস্থা ChatGPT 6 Astra-কে “প্রমাণের কৌশলে সহায়তার জন্য” ধন্যবাদ দেন, যোগ করেন যে শেষ অংশের প্রাথমিক যুক্তিটি সেই সাহায্যের আগেই পাওয়া গিয়েছিল, এবং প্রমাণ যাচাই ও লেখার দায়িত্ব নিজে নেন। ফলাফলটি একটি প্রিপ্রিন্ট এবং এখনো সহকর্মী-পর্যালোচনা হয়নি।

চাকতির ওপর ফালির একটি ধাঁধা থেকে পর্যাবৃত্ত তরঙ্গ ও আহিত তল পর্যন্ত, প্রমাণটি শেষ হয় যেখানে আর্কিমিডিস শুরু করেছিলেন: h প্রস্থের একটি ফিতে, আর 2πh ক্ষেত্রফল।