IRISAN ARCHIMEDES HANYA BERLAKU PADA BOLA

Makalah ini dibuka dengan sebuah teka-teki: bisakah sebuah cakram berdiameter 100 satuan ditutupi oleh 99 pita tak hingga yang masing-masing lebarnya 1 satuan? Pemecahannya, tulis Mijia Lai dari School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University, “membawa kita kembali lebih dari dua milenium ke salah satu momen Eureka Archimedes”.

Pita yang luasnya tak peduli letaknya

Teorema Archimedes. Pada bola berjari-jari 1, daerah di antara dua bidang sejajar yang sama-sama memotong bola, dengan jarak h, memiliki luas 2πh.

Bagian yang mengejutkan adalah apa yang tidak ada dalam rumus itu: letak pitanya. Di dekat khatulistiwa atau dekat kutub, hanya jarak h yang berpengaruh.

Petunjuk makalah untuk teka-teki itu adalah mengangkat pita-pita dari cakram datar ke atas sebuah bola, tempat mereka menjadi sabuk. Mengikuti petunjuk itu dengan rumus tadi memberikan jawabannya. Bola berdiameter 100 satuan berjari-jari 50 dan luasnya 4π × 50² = 10.000π. Setiap sabuk selebar 1 satuan menutupi 2π × 50 × 1 = 100π. Sembilan puluh sembilan sabuk menutupi paling banyak 9.900π — tidak cukup. Jadi tidak, pita-pita itu tidak dapat menutupi cakram.

Pertanyaan sebaliknya

Apakah sifat ini hanya dimiliki bola? Untuk permukaan cembung — bentuk tanpa lekukan ke dalam — dan dengan sifat itu disyaratkan untuk setiap lebar jarak, jawabannya sudah lama diketahui; makalah ini menelusurinya hingga Blaschke. Matematikawan Mohammad Ghomi mengajukan pertanyaan yang lebih tajam di forum MathOverflow pada Oktober 2017: jika luas di antara dua bidang sejajar selalu sama untuk satu jarak tetap saja, setiap kali kedua bidang memotong suatu permukaan cembung, haruskah permukaan itu berupa bola?

Lai membuktikan bahwa memang harus, dan melangkah lebih jauh.

Teorema A. Ambil sebuah permukaan mulus, tertutup, dan terhubung di ruang. Andaikan ada jarak h, lebih kecil daripada lebar tersempit permukaan itu, sehingga setiap irisan selebar h — ke segala arah dan di setiap posisi di mana kedua bidang memotong permukaan — memiliki luas 2πh. Maka permukaan itu adalah bola berjari-jari 1.

Kecembungan tidak diandaikan: ia menjadi bagian dari kesimpulan.

Dua langkah, satu jalan memutar lewat gelombang

Pertama, tidak ada lekukan. Syarat irisan itu punya akibat geometris: di tempat permukaan akan melengkung ke dalam, menjauh dari selubung luarnya, syarat itu memaksa sebuah besaran yang disebut kelengkungan rata-rata bernilai nol atau negatif. Lai menunjukkan bahwa hal ini berujung pada kontradiksi, dengan memakai alat klasik untuk persamaan semacam itu, prinsip maksimum Hopf. Karena tidak boleh ada lekukan, permukaan itu harus cembung, dan bahkan melengkung ke luar di setiap titik.

Kemudian, hanya bola. Untuk permukaan cembung, syarat irisan membuat sebaran luas menurut ketinggian berulang setiap h. Merata-ratakan pola berulang itu ke semua arah menghasilkan solusi persamaan gelombang yang berulang dalam waktu. Nilai awalnya ternyata terkait dengan potensial Newton — jenis potensial yang dihasilkan massa atau muatan listrik — yang akan diciptakan permukaan itu jika dilapisi secara merata. Sebuah hasil ketunggalan untuk gelombang periodik semacam itu, yang dibuktikan dalam lampiran, kemudian memaksa potensial ini bernilai konstan di dalam dan di luar permukaan. Sebuah teorema simetri yang sudah dikenal, dari Reichel, menyatakan bahwa hanya bola pejal yang dapat menghasilkan potensial semacam itu. Rumus Archimedes akhirnya menetapkan jari-jarinya sebesar 1.

Satu bagian tersendiri yang elementer membahas kasus khusus ketika lebar permukaan ke suatu arah merupakan kelipatan bulat dari jarak h.

Bantuan dari AI

Dalam ucapan terima kasihnya, penulis berterima kasih kepada sistem AI ChatGPT 6 Astra “atas bantuan dalam strategi pembuktian”, menambahkan bahwa argumen elementer di bagian terakhir ditemukan sebelum bantuan itu, dan bertanggung jawab atas pemeriksaan serta penulisan pembuktian. Hasil ini berupa pracetak dan belum melalui tinjauan sejawat.

Dari teka-teki tentang pita di atas cakram hingga gelombang periodik dan permukaan bermuatan, pembuktian ini berakhir di tempat Archimedes memulai: sebuah sabuk selebar h, dan luas 2πh.