LAS RODAJAS DE ARQUÍMEDES SOLO FUNCIONAN EN UNA ESFERA
El artículo empieza con un acertijo: ¿puede cubrirse un disco de 100 unidades de diámetro con 99 franjas infinitas, cada una de 1 unidad de ancho? La solución, escribe Mijia Lai, de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Jiao Tong de Shanghái, «nos lleva más de dos milenios atrás, a uno de los momentos eureka de Arquímedes».
Una franja cuya área ignora su posición
Teorema de Arquímedes. En una esfera de radio 1, la región comprendida entre dos planos paralelos que cortan ambos la esfera, separados por una distancia h, tiene área 2πh.
Lo llamativo es lo que la fórmula deja fuera: dónde está la franja. Cerca del ecuador o junto a un polo, solo cuenta la separación h.
La pista que da el artículo para el acertijo es elevar las franjas del disco plano a una esfera, donde se convierten en bandas. Siguiendo esa pista con la fórmula se obtiene la respuesta. Una esfera de 100 unidades de diámetro tiene radio 50 y área 4π × 50² = 10.000π. Cada banda de 1 unidad de ancho cubre 2π × 50 × 1 = 100π. Noventa y nueve de ellas cubren como mucho 9.900π: no basta. Así que no, las franjas no pueden cubrir el disco.
La pregunta inversa
¿Distingue esta propiedad a la esfera de todas las demás formas? Para las superficies convexas —formas sin abolladuras— y exigiendo la propiedad para cualquier anchura de separación, la respuesta se conoce desde hace mucho; el artículo la remonta a Blaschke. El matemático Mohammad Ghomi planteó una pregunta más fina en el foro MathOverflow en octubre de 2017: si el área entre dos planos paralelos es la misma para una única separación fija, siempre que ambos planos corten una superficie convexa, ¿debe esa superficie ser una esfera?
Lai demuestra que sí, y va más allá.
Teorema A. Tómese una superficie lisa, cerrada y conexa en el espacio. Supóngase que existe una separación h, menor que la anchura mínima de la superficie, tal que toda rodaja de anchura h —en cualquier dirección y en cualquier posición en la que ambos planos corten la superficie— tiene área 2πh. Entonces la superficie es una esfera de radio 1.
La convexidad no se supone: forma parte de la conclusión.
Dos pasos y un rodeo por las ondas
Primero, sin abolladuras. La condición de las rodajas tiene una consecuencia geométrica: allí donde la superficie se curvaría hacia dentro, alejándose de su envoltura exterior, obliga a que una magnitud llamada curvatura media sea nula o negativa. Lai muestra que esto lleva a una contradicción, usando una herramienta clásica para este tipo de ecuaciones, el principio del máximo de Hopf. Sin abolladuras posibles, la superficie debe ser convexa, y de hecho curvada hacia fuera en todos sus puntos.
Después, solo una esfera. Para una superficie convexa, la condición de las rodajas hace que la forma en que el área se reparte según la altura se repita cada h. Promediar ese patrón periódico sobre todas las direcciones produce una solución de la ecuación de ondas que se repite en el tiempo. Su valor inicial resulta estar ligado al potencial newtoniano —el que producen la masa o la carga eléctrica— que crearía la superficie si estuviera recubierta de manera uniforme. Un resultado de unicidad para esas ondas periódicas, demostrado en un apéndice, obliga entonces a que ese potencial sea constante dentro y fuera de la superficie. Un teorema de simetría conocido, debido a Reichel, dice que solo una bola puede producir un potencial así. La fórmula de Arquímedes fija finalmente su radio en 1.
Una sección aparte, elemental, trata el caso especial en que la anchura de la superficie en alguna dirección es un número entero de separaciones h.
Ayuda de una IA
En sus agradecimientos, el autor da las gracias al sistema de IA ChatGPT 6 Astra «por su ayuda con las estrategias de demostración», añade que el argumento elemental de la última sección se encontró antes de esa ayuda y asume la responsabilidad de comprobar y redactar la demostración. El resultado es una prepublicación y aún no ha pasado una revisión por pares.
De un acertijo sobre franjas en un disco a las ondas periódicas y las superficies cargadas, la demostración termina donde empezó Arquímedes: una franja de anchura h y un área de 2πh.