قاعدة الغو التي تغيّر الإجابة

حلّ لعبة يعني معرفة نتيجتها حين يلعب الطرفان على نحو مثالي. وعلى رقعة الغو، تكون هذه النتيجة قيمة: عدد النقاط التي يفوز بها الأسود في اللعب المثالي — فالقيمة 28 على رقعة 4×7 تعني أن الأسود يملك التقاطعات الـ28 كلها. فقد حُلّت لعبة الداما عام 2007، وكذلك لعبة هيكس (Hex) على الرقع الصغيرة. وبالنسبة إلى الغو، توجد براهين حاسوبية لرقع كثيرة يصل عدد تقاطعاتها إلى 30، معظمها من برنامج يسمى MIGOS (عامي 2003 و2009).

لكن ثمة إشكال. فهذه النتائج الكلاسيكية تستخدم قاعدة مبسطة للوضعيات المتكررة — قاعدة «كو» (ko) أساسية، أي أنه لا يجوز للاعب أن يأسر فورًا حجرًا منفردًا أسر للتو أحد أحجاره، وإلا تكررت النقلتان نفسهما إلى ما لا نهاية — مع أعراف خاصة: التمرير يرفع حظر الكو، والمباراة تتوقف عند وضعية متكررة، وهكذا. وقد صُممت هذه الأعراف بحيث لا تتوقف قيمة الوضعية على الطريقة التي بُلغت بها.

القاعدة التي يلعب بها الناس فعلًا

القواعد الصينية كما هي مكتوبة، والغو الحاسوبي، تستخدم السوبركو الموضعي (positional superko): لا يجوز لأي نقلة أن تعيد تكوين أي وضعية للرقعة كاملة سبق أن ظهرت في المباراة. والحل في ظل هذه القاعدة أصعب كثيرًا، لأن شرعية النقلة باتت تتوقف على التاريخ الكامل للمباراة. وهي تكسر ثلاث أدوات تجعل الحل ممكنًا:

إعادة استخدام النتائج للوضعية نفسها حين تُبلغ عبر مسار آخر — فقد يحظر المساران نقلات مختلفة؛
التعرف على المجموعات الآمنة والأرض من دون بحث، وهو ما يفترض أن المالك يستطيع دائمًا أسر الدخلاء — وفي ظل السوبركو قد يكون هذا الأسر محظورًا؛
تقليم النقلات التي لا تفيد أبدًا، مثل ملء عين المرء نفسه — وهي أحد التقاطعات الفارغة التي تحتاجها المجموعة لتبقى حية — ففي ظل السوبركو قد تصبح نقلة كهذه حاسمة.

كانت الكلفة هائلة: مع أحد أشكال السوبركو، احتاج MIGOS إلى 1.1 ساعة لرقعة 4×4، مقابل 3.3 ثانية في ظل الكو الأساسي. واستغرق أول حل لرقعة 5×5 بالسوبركو، عام 2024، 5.25 ساعة على ست عمليات حاسوبية. وفيما يتجاوز 5×5، لم تُحلّ في ظل السوبركو أي رقعة ذات صفين على الأقل.

اختصار يبقى سليمًا

بنى سامي خرما (Sami Kharma) وفلوريان شينتكه (Florian Schintke)، من معهد تسوزه في برلين، الحلّال Sanko. وجوهره مبرهنة نقل برهان بسيطة: البرهان المخزَّن على فوز أحد اللاعبين يبقى صالحًا على مسار جديد ما لم تكن قد ظهرت من قبل وضعية يتعين على الفائز تكوينها. وضعيات الفائز وحدها هي المهمة — فإذا لم يعد بوسع الخاسر إعادة تكوين وضعية ما، فإنه يخسر خيارًا فحسب. ويستغرق التحقق من ذلك وقتًا يتناسب مع طول المسار، لا مع حجم البرهان. وعلى رقعة 3×7، يخفّض هذا الاختصار وحده العمل من 664 مليار خطوة إلى 112 مليونًا.

كما كيّفا الطريقة الكلاسيكية للتعرف على المجموعات الآمنة لتبقى صحيحة في ظل السوبركو، ولم يقلّما إلا نقلات الطرف الذي كانا يحاولان البرهنة على فوزه، بحيث يُعلن البحث الفاشل نتيجةً مجهولة، لا فوزًا للطرف الآخر أبدًا.

قيم جديدة

5×5 في 15.7 دقيقة على ستة خيوط — أسرع بنحو 20 مرة من ذي قبل، ويعود ذلك جزئيًا إلى عتاد أفضل؛ وعلى خيط واحد، تُحل رقعة 4×4 أسرع بـ58 مرة. وعلى جهاز واحد بـ192 خيطًا، تستغرق رقعة 5×5 نحو دقيقة ونصف.
أول قيم بالسوبركو لـ23 رقعة أخرى؛ 11 منها لم تُحلّ قط بأي قواعد. ورقعة 3×10 تساوي 8 نقاط للأسود — وكان MIGOS قد برهن فقط على 6 على الأقل، ولم يعثر بحث دام شهرين على حد أعلى.
على الرقع ذات الصف الواحد، تتكرر القيم من 1×9 إلى 1×15 على النمط 0، 1، 2، 2 — لكن رقعة 1×16 تكسر النمط، إذ تساوي 1 بدلًا من 2.

مفاجأة 4×7

وفق القواعد القديمة، رقعة 4×7 فوز بالرقعة كاملة: يأسر الأسود كل شيء، 28–0. أما في ظل السوبركو فتساوي 12. أعاد الباحثان لعب الخط الأمثل ذي النقلات الـ31 المنشور لـ MIGOS: كل نقلة شرعية، والأسود لا يزال يستولي على الرقعة كلها. وبحلّ الخط بالعكس، وجدا موضع الانكسار بعد النقلة 25 مباشرة: ففي الوضعية التي تلي النقلة 25، التي لعبها الأسود، ينبغي للأبيض أن يلعب G2 (أو C1) بدلًا من A2.

ما يلي ذلك كو غريب. يأسر الأبيض؛ واسترداد الأسود سيعيد تكوين وضعية سابقة — وهذا محظور. وكل نقلة أخرى للأسود تعرّض مجموعته للخطر. فيضطر الأسود إلى التمرير، ويمرر الأبيض، وتنتهي المباراة ومجموعة الأبيض حية: وهو ما سبق أن سماه مؤلفو MIGOS «حياة ضوء القمر» (moonshine life). ووفق القواعد القديمة، كان التمرير سيرفع الحظر، فيسترد الأسود ويفوز بكل شيء. أما في ظل السوبركو، فأفضل ما يناله الأسود في هذا الخط حياة مشتركة (seki) لا تساوي سوى 3 نقاط، ولذلك يحيد اللعب المثالي عن الخط المنشور في وقت أبكر — وأفضل ما يستطيع الأسود ضمانه انطلاقًا من الرقعة الفارغة هو 12.

لم يكن أي من البحثين خاطئًا. فالفرق يأتي من قواعد لا تهم إلا في نهاية المباراة تمامًا. ونصيحة الباحثين: القيم المحسوبة وفق أعراف تجعل التكرار غير ضار لا ينبغي الاستشهاد بها كقيم لغو السوبركو من دون تحقق.

قابل للتحقق من أي أحد

تستند كل قيمة إلى برهانين مستقلين، واجتاز الحلّال عشرات الآلاف من عمليات التحقق المتقاطع من دون أي تعارض. وخلافًا للحلول السابقة لرقع الغو الفارغة، فإن الشيفرة المصدرية للحلّال والأمر الدقيق وراء كل نتيجة متاحة للعموم؛ وتُعاد سلسلة براهين 4×7 في أقل من عشرين ثانية. ولا تشكّل البراهين بعدُ شهادات يمكن لطرف خارجي التحقق منها بشكل مستقل، ولا تزال رقعة 6×6 بعيدة المنال — إذ تستغرق، وفق استقراء الباحثين، نحو 50 يومًا على أحد أجهزتهما، أو أكثر.