گو کا وہ اصول جو جواب بدل دیتا ہے

کسی کھیل کو حل کرنے کا مطلب ہے اس کا نتیجہ جاننا جب دونوں فریق کامل کھیلیں۔ گو کی بساط پر یہ نتیجہ ایک قدر ہوتا ہے: کامل کھیل میں سیاہ جتنے پوائنٹس سے جیتتا ہے — 4×7 بساط پر 28 کا مطلب ہے کہ تمام 28 کاٹ نقطے سیاہ کے ہیں۔ چیکرز 2007 میں حل ہوا، اور چھوٹی بساطوں پر ہیکس بھی۔ گو کے لیے 30 کاٹ نقطوں تک کی بہت سی بساطوں کے کمپیوٹری ثبوت موجود ہیں، زیادہ تر MIGOS نامی ایک پروگرام سے (2003 اور 2009)۔

اس میں ایک پیچ ہے۔ یہ کلاسیکی نتائج دہرائی جانے والی پوزیشنوں کے لیے ایک سادہ کیا گیا اصول استعمال کرتے ہیں — ایک بنیادی “کو” اصول، یعنی کھلاڑی اس اکیلے پتھر کو فوراً واپس نہیں پکڑ سکتا جس نے ابھی اس کا ایک پتھر پکڑا ہو، ورنہ وہی دو چالیں ہمیشہ کے لیے دہرائی جاتی رہیں گی — اور ساتھ کچھ خاص روایات: پاس کرنے سے کو کی پابندی ختم ہو جاتی ہے، دہرائی گئی پوزیشن پر بازی رک جاتی ہے، وغیرہ۔ یہ روایات اس لیے بنائی گئی تھیں کہ کسی پوزیشن کی قدر اس پر منحصر نہ ہو کہ وہاں کیسے پہنچا گیا۔

وہ اصول جس سے لوگ واقعی کھیلتے ہیں

چینی قواعد، جیسے لکھے گئے ہیں، اور کمپیوٹر گو پوزیشنل سپرکو استعمال کرتے ہیں: کوئی چال پوری بساط کی کسی ایسی پوزیشن کو دوبارہ نہیں بنا سکتی جو بازی میں پہلے آ چکی ہو۔ اس اصول کے تحت حل کرنا کہیں زیادہ مشکل ہے، کیونکہ کسی چال کا جائز ہونا اب بازی کی پوری تاریخ پر منحصر ہے۔ یہ ان تین اوزاروں کو توڑ دیتا ہے جو حل کرنا ممکن بناتے ہیں:

کسی دوسرے راستے سے پہنچی ہوئی اسی پوزیشن کے نتائج دوبارہ استعمال کرنا — دونوں راستے مختلف چالوں کو ممنوع کر سکتے ہیں؛
تلاش کے بغیر محفوظ گروہوں اور علاقے کو پہچاننا، جو یہ فرض کرتا ہے کہ مالک ہمیشہ گھس آنے والوں کو پکڑ سکتا ہے — سپرکو کے تحت ایسی پکڑ ممنوع ہو سکتی ہے؛
ان چالوں کو کاٹ دینا (pruning) جو کبھی مدد نہیں کرتیں، جیسے اپنی ہی آنکھ بھرنا — ان خالی نقطوں میں سے ایک جو کسی گروہ کو زندہ رہنے کے لیے درکار ہوتے ہیں — سپرکو کے تحت ایسی چال فیصلہ کن بن سکتی ہے۔

قیمت بہت بھاری تھی: سپرکو کی ایک شکل کے ساتھ MIGOS کو 4×4 بساط کے لیے 1.1 گھنٹے لگے، جبکہ بنیادی کو کے تحت 3.3 سیکنڈ۔ 2024 میں 5×5 کے پہلے سپرکو حل میں چھ پراسیسز پر 5.25 گھنٹے لگے۔ 5×5 سے آگے، کم از کم دو قطاروں والی کوئی بساط سپرکو کے تحت حل نہیں ہوئی تھی۔

ایک شارٹ کٹ جو درست رہتا ہے

زوزے انسٹی ٹیوٹ برلن کے سامی خارما اور فلوریان شنٹکے نے Sanko بنایا۔ اس کی بنیاد ایک سادہ ثبوت کی منتقلی کا مسئلہ (proof-transfer theorem) ہے: یہ محفوظ کیا گیا ثبوت کہ ایک کھلاڑی جیتتا ہے، نئے راستے پر بھی درست رہتا ہے، جب تک کہ کوئی ایسی بساط جو جیتنے والے کو بنانی ہے، پہلے نہ آ چکی ہو۔ صرف جیتنے والے کی بساطیں اہم ہیں — اگر ہارنے والا اب کوئی پوزیشن دوبارہ نہیں بنا سکتا تو وہ بس ایک امکان کھو دیتا ہے۔ اس کی جانچ میں لگنے والا وقت راستے کی لمبائی کے متناسب ہے، ثبوت کے سائز کے نہیں۔ 3×7 بساط پر صرف یہ شارٹ کٹ کام کو 664 ارب قدموں سے گھٹا کر 112 ملین کر دیتا ہے۔

انہوں نے محفوظ گروہوں کی کلاسیکی پہچان کو بھی اس طرح ڈھالا کہ وہ سپرکو کے تحت درست رہے، اور صرف اس فریق کی چالیں کاٹیں جس کی جیت وہ ثابت کرنے کی کوشش کر رہے تھے، تاکہ ناکام تلاش کو نامعلوم کے طور پر رپورٹ کیا جائے، کبھی دوسرے فریق کی جیت کے طور پر نہیں۔

نئی قدریں

چھ تھریڈز پر 15.7 منٹ میں 5×5 — پہلے سے تقریباً 20 گنا تیز، جزوی طور پر بہتر ہارڈویئر کی بدولت؛ ایک تھریڈ پر 4×4 58 گنا تیزی سے حل ہوتا ہے۔ 192 تھریڈز والی ایک مشین پر 5×5 میں تقریباً ڈیڑھ منٹ لگتا ہے۔
23 مزید بساطوں کی پہلی سپرکو قدریں؛ ان میں سے 11 کسی بھی اصول کے تحت کبھی حل نہیں ہوئی تھیں۔ 3×10 سیاہ کے لیے 8 پوائنٹ کی ہے — MIGOS نے صرف کم از کم 6 ثابت کیا تھا، اور دو ماہ کی تلاش کوئی بالائی حد نہیں ڈھونڈ سکی تھی۔
ایک قطار والی بساطوں پر 1×9 سے 1×15 تک قدریں 0، 1، 2، 2 کی صورت دہرائی جاتی ہیں — لیکن 1×16 یہ ترتیب توڑ دیتی ہے، 2 کی بجائے 1 کی ہے۔

4×7 کی حیرت

پرانے قواعد کے تحت 4×7 پوری بساط کی جیت ہے: سیاہ سب کچھ پکڑ لیتا ہے، 28–0۔ سپرکو کے تحت یہ 12 کی ہے۔ مصنفین نے MIGOS کے لیے شائع شدہ 31 چالوں کی بہترین لائن دوبارہ چلائی: ہر چال جائز ہے، اور سیاہ پھر بھی پوری بساط لے لیتا ہے۔ لائن کو الٹی سمت سے حل کر کے انہیں ٹوٹ چال 25 کے فوراً بعد ملی: چال 25 کے بعد کی پوزیشن میں، جو سیاہ نے کھیلی تھی، سفید کو A2 کی بجائے G2 (یا C1) کھیلنا چاہیے۔

اس کے بعد ایک عجیب کو آتا ہے۔ سفید پکڑتا ہے؛ سیاہ کا جوابی پکڑنا ایک پچھلی بساط دوبارہ بنا دے گا — ممنوع۔ سیاہ کی ہر دوسری چال اس کے اپنے گروہ کو خطرے میں ڈالتی ہے۔ سیاہ کو پاس کرنا پڑتا ہے، سفید پاس کرتا ہے، اور بازی سفید کے گروہ کے زندہ رہنے پر ختم ہوتی ہے: جسے MIGOS کے مصنفین پہلے ہی “چاندنی کی زندگی” (moonshine life) کہہ چکے تھے۔ پرانے قواعد کے تحت پاس سے پابندی ختم ہو جاتی، اور سیاہ دوبارہ پکڑ کر سب کچھ جیت لیتا۔ سپرکو کے تحت اس لائن میں سیاہ کا بہترین نتیجہ ایک مشترکہ زندگی (seki) ہے جس کی قدر صرف 3 پوائنٹس ہے، اس لیے کامل کھیل شائع شدہ لائن سے پہلے ہی ہٹ جاتا ہے — اور خالی بساط سے سیاہ زیادہ سے زیادہ 12 یقینی بنا سکتا ہے۔

کوئی بھی تلاش غلط نہیں تھی۔ فرق ان اصولوں سے آتا ہے جو صرف بازی کے بالکل آخر میں اہم ہوتے ہیں۔ مصنفین کا مشورہ: ایسی روایات کے تحت نکالی گئی قدریں جو دہراؤ کو بے ضرر بناتی ہیں، جانچے بغیر سپرکو گو کی قدروں کے طور پر نقل نہیں کی جانی چاہییں۔

ہر کوئی جانچ سکتا ہے

ہر قدر دو آزاد ثبوتوں پر قائم ہے، اور حل کنندہ دسیوں ہزار متقاطع جانچوں سے بغیر کسی عدم مطابقت کے گزرا۔ خالی گو بساطوں کے پچھلے حلوں کے برعکس، حل کنندہ کا سورس کوڈ اور ہر نتیجے کے پیچھے کی عین کمانڈ عوامی ہیں؛ 4×7 کے ثبوتوں کا سلسلہ بیس سیکنڈ سے کم میں دوبارہ چلایا جا سکتا ہے۔ یہ ثبوت ابھی ایسے سرٹیفکیٹ نہیں جنہیں کوئی بیرونی شخص آزادانہ طور پر تصدیق کر سکے، اور 6×6 ابھی پہنچ سے باہر ہے — مصنفین کے اندازے کے مطابق ان کی ایک مشین پر تقریباً 50 دن، یا اس سے بھی زیادہ۔