قاعدهٔ گو که پاسخ را تغییر می‌دهد
حل کردن یک بازی یعنی دانستن نتیجهٔ آن وقتی هر دو طرف بی‌نقص بازی می‌کنند. روی صفحهٔ گو، این نتیجه یک ارزش است: تعداد امتیازهایی که سیاه با بازی بی‌نقص با آن می‌برد — 28 روی صفحهٔ 4×7 یعنی سیاه صاحب هر 28 تقاطع است. چکرز در سال 2007 حل شد و هِکس روی صفحه‌های کوچک نیز. برای گو، اثبات‌های رایانه‌ای برای بسیاری از صفحه‌ها تا 30 تقاطع وجود دارد که بیشترشان از برنامه‌ای به نام MIGOS آمده‌اند (2003 و 2009).
اما یک گیر در کار است. این نتایج کلاسیک برای وضعیت‌های تکراری از قاعده‌ای ساده‌شده استفاده می‌کنند — یک قاعدهٔ پایهٔ «کو» — بازیکن نمی‌تواند بی‌درنگ تک‌مهره‌ای را پس بگیرد که همین حالا یکی از مهره‌های او را گرفته است، چون همان دو حرکت تا بی‌نهایت تکرار می‌شد — به‌علاوهٔ قراردادهای ویژه: یک پاس ممنوعیت کو را برمی‌دارد، بازی در یک وضعیت تکراری متوقف می‌شود، و مانند آن. این قراردادها طوری طراحی شده بودند که ارزش یک وضعیت به راهی که به آن رسیده‌ایم بستگی نداشته باشد.
قاعده‌ای که مردم واقعاً با آن بازی می‌کنند
قواعد چینی به همان شکلی که نوشته شده‌اند، و گوی رایانه‌ای، از سوپرکوی موقعیتی (positional superko) استفاده می‌کنند: هیچ حرکتی نمی‌تواند هیچ وضعیت کامل صفحه‌ای را که پیش‌تر در بازی پدید آمده بازسازی کند. حل کردن با این قاعده بسیار دشوارتر است، زیرا مجاز بودن یک حرکت اکنون به کل تاریخچهٔ بازی بستگی دارد. این قاعده سه ابزاری را که حل کردن را ممکن می‌کنند از کار می‌اندازد:
- استفادهٔ دوباره از نتایج برای همان وضعیتی که از مسیری دیگر به آن رسیده‌ایم — دو مسیر ممکن است حرکت‌های متفاوتی را ممنوع کنند؛
- شناسایی گروه‌ها و قلمروهای امن بدون جست‌وجو، که فرض می‌کند صاحبشان همیشه می‌تواند مهاجمان را بگیرد — با سوپرکو، چنین گرفتنی ممکن است ممنوع باشد؛
- هَرَس کردن حرکت‌هایی که هرگز کمکی نمی‌کنند، مانند پر کردن چشم خود — یکی از تقاطع‌های خالی که یک گروه برای زنده ماندن به آن نیاز دارد — با سوپرکو، چنین حرکتی می‌تواند تعیین‌کننده شود.
هزینه بسیار زیاد بود: MIGOS با گونه‌ای از سوپرکو برای صفحهٔ 4×4 به 1.1 ساعت زمان نیاز داشت، در برابر 3.3 ثانیه با کوی پایه. نخستین حل سوپرکوی 5×5، در سال 2024، با شش فرایند 5.25 ساعت طول کشید. فراتر از 5×5، هیچ صفحه‌ای با دست‌کم دو ردیف با سوپرکو حل نشده بود.
میان‌بُری که درست می‌ماند
Sami Kharma و Florian Schintke، از مؤسسهٔ Zuse برلین، Sanko را ساختند. هستهٔ آن یک قضیهٔ انتقال اثبات ساده است: اثباتی ذخیره‌شده مبنی بر اینکه یک بازیکن می‌برد، روی مسیری تازه معتبر می‌ماند مگر آنکه صفحه‌ای که برنده باید بسازد پیش‌تر پدید آمده باشد. تنها صفحه‌های برنده اهمیت دارند — اگر بازنده دیگر نتواند وضعیتی را بازسازی کند، فقط یک گزینه را از دست می‌دهد. وارسی این شرط زمانی متناسب با طول مسیر می‌گیرد، نه اندازهٔ اثبات. روی صفحهٔ 3×7، همین میان‌بُر به‌تنهایی کار را از 664 میلیارد گام به 112 میلیون کاهش می‌دهد.
آن‌ها همچنین شناسایی کلاسیک گروه‌های امن را طوری تطبیق دادند که با سوپرکو درست بماند، و تنها حرکت‌های طرفی را هرس کردند که می‌کوشیدند پیروزی‌اش را اثبات کنند، تا جست‌وجوی ناموفق به‌عنوان «نامعلوم» گزارش شود و هرگز به‌عنوان پیروزی طرف دیگر.
ارزش‌های تازه
- 5×5 در 15.7 دقیقه با شش رشته — حدود 20 برابر سریع‌تر از پیش، تا حدی به لطف سخت‌افزار بهتر؛ با یک رشته، 4×4 58 برابر سریع‌تر حل می‌شود. روی یک دستگاه 192 رشته‌ای، 5×5 حدود یک دقیقه و نیم طول می‌کشد.
- نخستین ارزش‌های سوپرکو برای 23 صفحهٔ دیگر؛ 11 تای آن‌ها با هیچ قاعده‌ای حل نشده بودند. 3×10 برای سیاه 8 امتیاز ارزش دارد — MIGOS تنها ثابت کرده بود که دست‌کم 6 است، و دو ماه جست‌وجو هیچ کران بالایی نیافته بود.
- روی صفحه‌های یک‌ردیفه، ارزش‌ها از 1×9 تا 1×15 به‌صورت 0، 1، 2، 2 تکرار می‌شوند — اما 1×16 این الگو را می‌شکند و به جای 2، ارزشش 1 است.
غافلگیری 4×7
با قواعد قدیمی، 4×7 پیروزی روی کل صفحه است: سیاه همه‌چیز را می‌گیرد، 28–0. با سوپرکو ارزشش 12 است. نویسندگان خط بهینهٔ 31 حرکتیِ منتشرشده برای MIGOS را دوباره بازی کردند: همهٔ حرکت‌ها مجازند و سیاه باز هم کل صفحه را می‌گیرد. با حل کردن خط از انتها به ابتدا، نقطهٔ شکست را درست پس از حرکت 25 یافتند: در وضعیتِ پس از حرکت 25، که سیاه آن را بازی کرده است، سفید باید به جای A2، G2 (یا C1) را بازی کند.
آنچه پس از آن می‌آید یک کوی عجیب است. سفید مهره می‌گیرد؛ بازپس‌گیری سیاه صفحه‌ای پیشین را بازسازی می‌کند — ممنوع. هر حرکت دیگر سیاه گروه خودش را به خطر می‌اندازد. سیاه ناچار پاس می‌دهد، سفید پاس می‌دهد، و بازی با زنده ماندن گروه سفید پایان می‌یابد: چیزی که نویسندگان MIGOS پیش‌تر «زندگی مهتابی» (moonshine life) نامیده بودند. با قواعد قدیمی، پاس ممنوعیت را برمی‌داشت و سیاه بازپس می‌گرفت و همه‌چیز را می‌برد. با سوپرکو، بهترین نتیجهٔ سیاه در این خط یک زندگی مشترک (seki) است که تنها 3 امتیاز ارزش دارد، پس بازی بی‌نقص زودتر از خط منتشرشده جدا می‌شود — و بهترین چیزی که سیاه از صفحهٔ خالی می‌تواند تضمین کند 12 است.
هیچ‌یک از دو جست‌وجو اشتباه نبود. تفاوت از قواعدی می‌آید که تنها در پایان بازی اهمیت پیدا می‌کنند. توصیهٔ نویسندگان: ارزش‌هایی که با قراردادهایی محاسبه شده‌اند که تکرار را بی‌ضرر می‌کنند، نباید بدون وارسی به‌عنوان ارزش‌های گوی سوپرکو نقل شوند.
قابل وارسی برای همه
هر ارزش بر دو اثبات مستقل تکیه دارد، و حل‌کننده ده‌ها هزار وارسی متقابل را بی‌هیچ ناسازگاری گذراند. برخلاف حل‌های پیشین صفحه‌های خالی گو، کد منبع حل‌کننده و فرمان دقیقِ پشت هر نتیجه عمومی است؛ زنجیرهٔ اثبات‌های 4×7 در کمتر از بیست ثانیه دوباره اجرا می‌شود. این اثبات‌ها هنوز گواهی‌هایی نیستند که فردی بیرونی بتواند به‌طور مستقل وارسی کند، و 6×6 همچنان دست‌نیافتنی است — طبق برون‌یابی نویسندگان، حدود 50 روز روی یکی از دستگاه‌هایشان، یا بیشتر.