गो का वह नियम जो जवाब बदल देता है

किसी खेल को हल करने का अर्थ है यह जानना कि जब दोनों पक्ष त्रुटिहीन खेलें तो नतीजा क्या होगा। गो की बिसात पर यह नतीजा एक मान (value) होता है: त्रुटिहीन खेल में काला कितने अंकों से जीतता है — 4×7 बिसात पर 28 का अर्थ है कि सभी 28 कटान-बिंदु काले के हैं। चेकर्स 2007 में हल हुआ, और छोटी बिसातों पर हेक्स (Hex) भी। गो के लिए 30 कटान-बिंदुओं तक की कई बिसातों के कंप्यूटर-प्रमाण मौजूद हैं, जिनमें से अधिकांश MIGOS नाम के एक प्रोग्राम से आए (2003 और 2009)।

लेकिन इसमें एक पेच है। वे शास्त्रीय परिणाम दोहराई गई स्थितियों के लिए एक सरलीकृत नियम का उपयोग करते हैं — एक बुनियादी “को” (ko) नियम — कोई खिलाड़ी उस अकेली गोटी को तुरंत वापस नहीं पकड़ सकता जिसने अभी-अभी उसकी एक गोटी पकड़ी हो, वरना वही दो चालें अनंत काल तक दोहराती रहेंगी — और कुछ विशेष परंपराएँ: एक पास को-प्रतिबंध हटा देता है, दोहराई गई स्थिति पर खेल रुक जाता है, इत्यादि। ये परंपराएँ इसलिए बनाई गई थीं ताकि किसी स्थिति का मूल्य इस पर निर्भर न करे कि वहाँ तक कैसे पहुँचा गया।

वह नियम जिससे लोग सचमुच खेलते हैं

लिखित चीनी नियम, और कंप्यूटर गो, स्थितिगत सुपरको (positional superko) का उपयोग करते हैं: कोई भी चाल खेल में पहले आ चुकी किसी भी पूरी-बिसात स्थिति को दोबारा नहीं बना सकती। इस नियम के तहत हल करना कहीं अधिक कठिन है, क्योंकि अब किसी चाल का वैध होना खेल के पूरे इतिहास पर निर्भर करता है। यह उन तीन औज़ारों को तोड़ देता है जो हल करना संभव बनाते हैं:

किसी दूसरे रास्ते से पहुँची उसी स्थिति के परिणामों का पुनः उपयोग — दोनों रास्ते अलग-अलग चालों पर रोक लगा सकते हैं;
बिना खोज के सुरक्षित समूहों और क्षेत्र की पहचान, जो यह मानकर चलती है कि स्वामी हमेशा घुसपैठियों को पकड़ सकता है — सुपरको के तहत ऐसा पकड़ना वर्जित हो सकता है;
उन चालों की छँटाई (pruning) जो कभी मदद नहीं करतीं, जैसे अपनी ही आँख (eye) भरना — किसी समूह को ज़िंदा रहने के लिए जिन ख़ाली बिंदुओं की ज़रूरत होती है, उनमें से एक — सुपरको के तहत ऐसी चाल निर्णायक बन सकती है।

क़ीमत बहुत भारी थी: सुपरको के एक रूप के साथ MIGOS को 4×4 बिसात के लिए 1.1 घंटे लगे, जबकि बुनियादी को के तहत 3.3 सेकंड। 2024 में 5×5 के पहले सुपरको हल में छह प्रक्रियाओं (processes) पर 5.25 घंटे लगे। 5×5 से आगे, कम-से-कम दो पंक्तियों वाली कोई भी बिसात सुपरको के तहत हल नहीं हुई थी।

एक शॉर्टकट जो सही बना रहता है

Zuse Institute Berlin के Sami Kharma और Florian Schintke ने Sanko बनाया। इसका केंद्र एक सरल प्रमाण-हस्तांतरण प्रमेय (proof-transfer theorem) है: किसी खिलाड़ी के जीतने का संग्रहीत प्रमाण एक नए रास्ते पर भी मान्य रहता है, जब तक कि वह कोई बिसात-स्थिति पहले ही न आ चुकी हो जिसे विजेता को बनाना ज़रूरी है। केवल विजेता की स्थितियाँ मायने रखती हैं — यदि हारने वाला अब किसी स्थिति को दोबारा नहीं बना सकता, तो उसका बस एक विकल्प कम हो जाता है। इसकी जाँच में लगने वाला समय रास्ते की लंबाई के अनुपात में होता है, प्रमाण के आकार के नहीं। 3×7 बिसात पर अकेला यह शॉर्टकट काम को 664 अरब क़दमों से घटाकर 11.2 करोड़ कर देता है।

उन्होंने सुरक्षित समूहों की शास्त्रीय पहचान को भी इस तरह ढाला कि वह सुपरको के तहत सही बनी रहे, और केवल उस पक्ष की चालें छाँटीं जिसकी जीत वे सिद्ध करने की कोशिश कर रहे थे, ताकि विफल खोज को अज्ञात बताया जाए, दूसरे पक्ष की जीत कभी नहीं।

नए मान

5×5 छह थ्रेड पर 15.7 मिनट में — पहले से लगभग 20 गुना तेज़, आंशिक रूप से बेहतर हार्डवेयर की बदौलत; एक थ्रेड पर 4×4 58 गुना तेज़ हल होता है। 192 थ्रेड वाली एक मशीन पर 5×5 में लगभग डेढ़ मिनट लगते हैं।
23 और बिसातों के पहले सुपरको मान; उनमें से 11 किसी भी नियम के तहत कभी हल नहीं हुई थीं। 3×10 काले के लिए 8 अंक की है — MIGOS ने केवल कम-से-कम 6 सिद्ध किया था, और दो महीने की खोज में कोई ऊपरी सीमा नहीं मिली थी।
एक-पंक्ति वाली बिसातों पर 1×9 से 1×15 तक के मान 0, 1, 2, 2 दोहराते हैं — लेकिन 1×16 यह पैटर्न तोड़ देती है, 2 के बजाय 1 अंक की।

4×7 का आश्चर्य

पुराने नियमों के तहत 4×7 पूरी बिसात की जीत है: काला सब कुछ पकड़ लेता है, 28–0। सुपरको के तहत यह 12 की है। लेखकों ने MIGOS के लिए प्रकाशित 31 चालों वाली इष्टतम पंक्ति को दोबारा खेला: हर चाल वैध है, और काला फिर भी पूरी बिसात ले लेता है। पंक्ति को पीछे की ओर हल करते हुए उन्होंने चाल 25 के ठीक बाद दरार पाई: चाल 25 (जो काले ने चली) के बाद की स्थिति में सफ़ेद को A2 के बजाय G2 (या C1) खेलना चाहिए।

इसके बाद एक अजीब “को” आता है। सफ़ेद पकड़ता है; काले का वापस पकड़ना एक पिछली बिसात-स्थिति दोबारा बना देगा — जो वर्जित है। काले की हर दूसरी चाल उसके अपने समूह को ख़तरे में डालती है। काले को पास करना पड़ता है, सफ़ेद पास करता है, और खेल सफ़ेद के समूह के जीवित रहते ख़त्म होता है: जिसे MIGOS के लेखक पहले ही “चाँदनी जीवन” (moonshine life) कह चुके थे। पुराने नियमों के तहत पास प्रतिबंध हटा देता और काला वापस पकड़कर सब कुछ जीत लेता। सुपरको के तहत इस पंक्ति में काले का सबसे अच्छा परिणाम एक साझा जीवन (seki) है, जिसकी क़ीमत केवल 3 अंक है, इसलिए त्रुटिहीन खेल प्रकाशित पंक्ति से पहले ही हट जाता है — और ख़ाली बिसात से काला अधिक-से-अधिक 12 सुनिश्चित कर सकता है।

कोई भी खोज ग़लत नहीं थी। अंतर उन नियमों से आता है जो खेल के बिल्कुल अंत में ही मायने रखते हैं। लेखकों की सलाह: जो मान ऐसी परंपराओं के तहत निकाले गए हैं जो दोहराव को हानिरहित बना देती हैं, उन्हें बिना जाँचे सुपरको गो के मान के रूप में उद्धृत नहीं करना चाहिए।

कोई भी जाँच सकता है

हर मान दो स्वतंत्र प्रमाणों पर टिका है, और सॉल्वर दसियों हज़ार क्रॉस-जाँचों में बिना किसी विसंगति के पास हुआ। ख़ाली गो बिसातों के पहले के हलों के विपरीत, सॉल्वर का सोर्स कोड और हर परिणाम के पीछे का सटीक कमांड सार्वजनिक हैं; 4×7 के प्रमाणों की शृंखला बीस सेकंड से कम में दोबारा चलाई जा सकती है। ये प्रमाण अभी ऐसे प्रमाणपत्र नहीं हैं जिन्हें कोई बाहरी व्यक्ति स्वतंत्र रूप से सत्यापित कर सके, और 6×6 अभी पहुँच से बाहर है — लेखकों के अनुमान से उनकी एक मशीन पर लगभग 50 दिन, या उससे अधिक।