CEVABI DEĞİŞTİREN GO KURALI

Bir oyunu çözmek, her iki taraf da kusursuz oynadığında sonucunu bilmek demektir. Bir go tahtasında bu sonuç bir değerdir: kusursuz oyunda Siyah’ın kaç puan farkla kazandığı — 4×7’lik bir tahtada 28, Siyah’ın 28 kesişim noktasının hepsine sahip olduğu anlamına gelir. Dama 2007’de çözüldü, küçük tahtalarda Hex de öyle. Go için ise 30 kesişim noktasına kadar olan birçok tahtada bilgisayar kanıtları var; bunlar çoğunlukla MIGOS adlı bir programdan geliyor (2003 ve 2009).

Ama bir sorun var. Bu klasik sonuçlar, tekrarlanan konumlar için basitleştirilmiş bir kural kullanıyor: temel bir “ko” kuralı — bir oyuncu, kendi taşlarından birini az önce almış tek bir taşı hemen geri alamaz, yoksa aynı iki hamle sonsuza dek tekrarlanırdı — artı özel uzlaşımlar: pas bir ko yasağını kaldırır, tekrarlanan bir konumda oyun durur ve benzeri. Bu uzlaşımlar, bir konumun değeri oraya nasıl ulaşıldığına bağlı olmasın diye tasarlandı.

İnsanların gerçekte oynadığı kural

Yazıya geçirilmiş haliyle Çin kuralları ve bilgisayar go’su konumsal superko (positional superko) kullanır: hiçbir hamle, oyunda daha önce ortaya çıkmış herhangi bir tam tahta konumunu yeniden oluşturamaz. Bu kurala göre çözmek çok daha zordur, çünkü bir hamlenin geçerliliği artık oyunun tüm geçmişine bağlıdır. Bu da çözmeyi mümkün kılan üç aracı bozar:

• aynı konuma başka bir yoldan ulaşıldığında sonuçları yeniden kullanmak — iki yol farklı hamleleri yasaklıyor olabilir;
• güvenli grupları ve bölgeyi arama yapmadan tanımak — bu, sahibin içeri sızanları her zaman yakalayabileceğini varsayar; oysa superko altında böyle bir yakalama yasak olabilir;
• kişinin kendi gözünü doldurmak gibi — bir grubun canlı kalmak için ihtiyaç duyduğu boş noktalardan biri — hiçbir zaman işe yaramayan hamleleri budamak — superko altında böyle bir hamle belirleyici hale gelebilir.

Maliyet muazzamdı: bir superko varyantıyla MIGOS’un 4×4 tahta için 1,1 saate ihtiyacı vardı; temel ko altında ise 3,3 saniye. 5×5’in ilk superko çözümü, 2024’te, altı süreçte 5,25 saat sürdü. 5×5’in ötesinde, en az iki sırası olan hiçbir tahta superko altında çözülmemişti.

Sağlam kalan bir kestirme

Zuse Enstitüsü Berlin’den Sami Kharma ve Florian Schintke Sanko’yu geliştirdi. Çekirdeğinde basit bir kanıt aktarımı teoremi yatıyor: bir oyuncunun kazandığına dair saklanmış bir kanıt, kazananın oluşturması gereken bir tahta daha önce ortaya çıkmadıkça yeni bir yolda da geçerli kalır. Yalnızca kazananın tahtaları önemlidir — kaybeden artık bir konumu yeniden oluşturamıyorsa, yalnızca bir seçeneğini kaybeder. Bunu denetlemek, kanıtın büyüklüğüyle değil, yolun uzunluğuyla orantılı zaman alır. 3×7 tahtada bu kestirme tek başına işi 664 milyar adımdan 112 milyona indiriyor.

Ayrıca güvenli grupların klasik tanınma yöntemini superko altında da doğru kalacak şekilde uyarladılar ve yalnızca kazancını kanıtlamaya çalıştıkları tarafın hamlelerini budadılar; böylece başarısız bir arama hiçbir zaman diğer tarafın zaferi olarak değil, bilinmeyen olarak raporlanıyor.

Yeni değerler

• 5×5, altı iş parçacığıyla 15,7 dakikada — öncekinden yaklaşık 20 kat daha hızlı, kısmen daha iyi donanım sayesinde; tek iş parçacığında 4×4 58 kat daha hızlı çözülüyor. 192 iş parçacıklı tek bir makinede 5×5 yaklaşık bir buçuk dakika sürüyor.
• 23 tahta daha için ilk superko değerleri; bunların 11’i hiçbir kurala göre çözülmemişti. 3×10, Siyah için 8 puan ediyor — MIGOS yalnızca en az 6 olduğunu kanıtlamıştı ve iki aylık arama hiçbir üst sınır bulamamıştı.
• Tek sıralı tahtalarda 1×9’dan 1×15’e kadar değerler 0, 1, 2, 2 diye tekrarlanıyor — ama 1×16 bu örüntüyü bozuyor, 2 yerine 1 ediyor.

4×7 sürprizi

Eski kurallara göre 4×7 tam tahta zaferidir: Siyah her şeyi ele geçirir, 28–0. Superko altında ise 12 ediyor. Yazarlar MIGOS için yayımlanmış 31 hamlelik en iyi hattı yeniden oynadılar: her hamle geçerli ve Siyah yine bütün tahtayı alıyor. Hattı geriye doğru çözerek kırılma noktasını 25. hamlenin hemen ardında buldular: Siyah’ın oynadığı 25. hamleden sonraki konumda Beyaz, A2 yerine G2 (ya da C1) oynamalı.

Ardından tuhaf bir ko geliyor. Beyaz taş alıyor; Siyah’ın geri alması daha önceki bir tahtayı yeniden oluşturur — yasak. Siyah’ın diğer her hamlesi kendi grubunu tehlikeye atıyor. Siyah pas geçmek zorunda kalıyor, Beyaz da pas geçiyor ve oyun Beyaz’ın grubu canlıyken bitiyor: MIGOS’un yazarlarının daha önce “ay ışığı yaşamı” (moonshine life) adını verdiği şey. Eski kurallara göre pas yasağı kaldırırdı ve Siyah geri alıp her şeyi kazanırdı. Superko altında Siyah’ın bu hattaki en iyi sonucu yalnızca 3 puan değerinde ortak bir yaşamdır (seki); dolayısıyla kusursuz oyun yayımlanmış hattan daha erken ayrılır — ve Siyah’ın boş tahtadan garanti edebileceği en iyi sonuç 12’dir.

Aramalardan hiçbiri yanlış değildi. Fark, yalnızca oyunun en sonunda önem kazanan kurallardan geliyor. Yazarların tavsiyesi: tekrarı zararsız kılan uzlaşımlar altında hesaplanan değerler, denetlenmeden superko go’sunun değerleri olarak aktarılmamalı.

Herkes tarafından denetlenebilir

Her değer iki bağımsız kanıta dayanıyor ve çözücü on binlerce çapraz denetimi tek bir uyuşmazlık olmadan geçti. Boş go tahtalarının önceki çözümlerinden farklı olarak, çözücünün kaynak kodu ve her sonucun ardındaki komutun tam hali herkese açık; 4×7’nin kanıt zinciri yirmi saniyeden kısa sürede yeniden oynatılabiliyor. Kanıtlar henüz bir dışarıdan kişinin bağımsız olarak doğrulayabileceği sertifikalar değil ve 6×6 hâlâ ulaşılamaz durumda — yazarların tahminine göre, makinelerinden birinde yaklaşık 50 gün ya da daha fazla.