গো খেলার যে নিয়ম উত্তর বদলে দেয়

একটি খেলা সমাধান করা মানে, দুই পক্ষই নিখুঁতভাবে খেললে ফল কী হবে তা জানা। গো-র বোর্ডে সেই ফল একটি মান (value): নিখুঁত খেলায় কালো কত পয়েন্টে জেতে — 4×7 বোর্ডে 28 মানে কালো সব 28টি ছেদবিন্দুর মালিক। চেকার্স সমাধান হয়েছে 2007 সালে, ছোট বোর্ডে হেক্সও (Hex)। গো-র ক্ষেত্রে 30 ছেদবিন্দু পর্যন্ত বহু বোর্ডের কম্পিউটার-প্রমাণ আছে, বেশিরভাগই MIGOS নামের একটি প্রোগ্রাম থেকে (2003 ও 2009)।

কিন্তু এখানে একটা গোলমাল আছে। এই ধ্রুপদি ফলাফলগুলো পুনরাবৃত্ত অবস্থানের জন্য একটি সরলীকৃত নিয়ম ব্যবহার করে — একটি মৌলিক “কো” (ko) নিয়ম — যে একক গুটি সদ্য কোনো খেলোয়াড়ের একটি গুটি বন্দি করেছে, সেই খেলোয়াড় তাকে সঙ্গে সঙ্গে পাল্টা বন্দি করতে পারবে না, নইলে একই দুটি চাল অনন্তকাল ঘুরপাক খেতে থাকবে — আর কিছু বিশেষ প্রথা: একটি পাস কো-নিষেধাজ্ঞা তুলে দেয়, পুনরাবৃত্ত অবস্থানে খেলা থেমে যায়, ইত্যাদি। এই প্রথাগুলো এমনভাবে বানানো হয়েছিল যাতে একটি অবস্থানের মূল্য সেখানে কীভাবে পৌঁছনো হলো তার ওপর নির্ভর না করে।

মানুষ আসলে যে নিয়মে খেলে

লিখিত চীনা নিয়ম এবং কম্পিউটার গো ব্যবহার করে অবস্থানগত সুপারকো (positional superko): কোনো চাল খেলায় আগে ঘটে যাওয়া কোনো পূর্ণ-বোর্ড অবস্থান আবার তৈরি করতে পারবে না। এই নিয়মে সমাধান অনেক কঠিন, কারণ একটি চাল বৈধ কি না তা এখন খেলার পুরো ইতিহাসের ওপর নির্ভর করে। এটি তিনটি হাতিয়ার ভেঙে দেয়, যেগুলো সমাধানকে সম্ভব করে:

অন্য পথে পৌঁছনো একই অবস্থানের ফলাফল পুনর্ব্যবহার — দুটি পথ ভিন্ন ভিন্ন চাল নিষিদ্ধ করতে পারে;
অনুসন্ধান ছাড়াই নিরাপদ দল ও এলাকা চেনা, যা ধরে নেয় যে মালিক সবসময় অনুপ্রবেশকারীদের বন্দি করতে পারে — সুপারকোর অধীনে এমন বন্দি করা নিষিদ্ধ হতে পারে;
কখনো কাজে আসে না এমন চাল ছাঁটাই (pruning), যেমন নিজের চোখ (eye) ভরাট করা — একটি দলকে বেঁচে থাকতে যে খালি বিন্দুগুলো দরকার, তার একটি — সুপারকোর অধীনে এমন চালও নির্ণায়ক হয়ে উঠতে পারে।

খরচ ছিল বিপুল: সুপারকোর একটি রূপ নিয়ে MIGOS-এর 4×4 বোর্ডে লেগেছিল 1.1 ঘণ্টা, মৌলিক কো-তে যেখানে 3.3 সেকেন্ড। 2024 সালে 5×5-এর প্রথম সুপারকো সমাধানে ছয়টি প্রসেসে লেগেছিল 5.25 ঘণ্টা। 5×5-এর বাইরে, অন্তত দুটি সারিযুক্ত কোনো বোর্ডই সুপারকোর অধীনে সমাধান হয়নি।

যে শর্টকাট নির্ভুল থাকে

Zuse Institute Berlin-এর Sami Kharma ও Florian Schintke তৈরি করেছেন Sanko। এর মূলে একটি সরল প্রমাণ-স্থানান্তর উপপাদ্য (proof-transfer theorem): কোনো খেলোয়াড়ের জয়ের একটি সঞ্চিত প্রমাণ নতুন পথেও বৈধ থাকে, যদি না বিজয়ীকে যে বোর্ড-অবস্থান তৈরি করতেই হবে তা আগেই দেখা দিয়ে থাকে। কেবল বিজয়ীর অবস্থানগুলোই গুরুত্বপূর্ণ — পরাজিত যদি আর কোনো অবস্থান আবার তৈরি করতে না পারে, তাহলে সে শুধু একটি বিকল্প হারায়। এটি যাচাইয়ে সময় লাগে পথের দৈর্ঘ্যের অনুপাতে, প্রমাণের আকারের নয়। 3×7 বোর্ডে কেবল এই শর্টকাটটিই কাজকে 66,400 কোটি ধাপ থেকে 11.2 কোটিতে নামিয়ে আনে।

তাঁরা নিরাপদ দল চেনার ধ্রুপদি পদ্ধতিকেও এমনভাবে মানিয়ে নিয়েছেন যাতে তা সুপারকোর অধীনে নির্ভুল থাকে, এবং কেবল সেই পক্ষের চাল ছাঁটাই করেছেন যার জয় তাঁরা প্রমাণ করার চেষ্টা করছিলেন, যাতে ব্যর্থ অনুসন্ধানকে অজানা বলে জানানো হয়, অপর পক্ষের জয় হিসেবে কখনোই নয়।

নতুন মান

ছয়টি থ্রেডে 15.7 মিনিটে 5×5 — আগের চেয়ে প্রায় 20 গুণ দ্রুত, আংশিকভাবে উন্নত হার্ডওয়্যারের কল্যাণে; একটি থ্রেডে 4×4 সমাধান হয় 58 গুণ দ্রুত। 192-থ্রেডের একটি যন্ত্রে 5×5-এ লাগে প্রায় দেড় মিনিট।
আরও 23টি বোর্ডের প্রথম সুপারকো মান; তাদের 11টি আগে কোনো নিয়মেই সমাধান হয়নি। 3×10-এর মূল্য কালোর জন্য 8 পয়েন্ট — MIGOS কেবল অন্তত 6 প্রমাণ করেছিল, আর দুই মাসের অনুসন্ধানেও কোনো ঊর্ধ্বসীমা মেলেনি।
এক সারির বোর্ডে 1×9 থেকে 1×15 পর্যন্ত মানগুলো 0, 1, 2, 2 পুনরাবৃত্তি করে — কিন্তু 1×16 এই ছাঁদ ভেঙে দেয়, মূল্য 2-এর বদলে 1।

4×7-এর চমক

পুরোনো নিয়মে 4×7 একটি পূর্ণ-বোর্ড জয়: কালো সবকিছু বন্দি করে, 28–0। সুপারকোর অধীনে এর মূল্য 12। লেখকেরা MIGOS-এর জন্য প্রকাশিত 31 চালের সর্বোত্তম ধারাটি আবার খেলেছেন: প্রতিটি চাল বৈধ, এবং কালো তবুও পুরো বোর্ড দখল করে। ধারাটি পেছন দিক থেকে সমাধান করে তাঁরা 25 নম্বর চালের ঠিক পরেই ফাটলটি পেয়েছেন: কালোর খেলা 25 নম্বর চালের পরের অবস্থানে সাদার উচিত A2-এর বদলে G2 (বা C1) খেলা।

এরপর আসে একটি অদ্ভুত কো। সাদা বন্দি করে; কালো পাল্টা বন্দি করলে আগের একটি বোর্ড-অবস্থান আবার তৈরি হবে — যা নিষিদ্ধ। কালোর অন্য প্রতিটি চাল তার নিজের দলকেই বিপদে ফেলে। কালোকে পাস দিতে হয়, সাদাও পাস দেয়, আর খেলা শেষ হয় সাদার দল জীবিত রেখে: MIGOS-এর লেখকেরা যাকে আগেই বলেছিলেন “জ্যোৎস্না-জীবন” (moonshine life)। পুরোনো নিয়মে পাসটি নিষেধাজ্ঞা তুলে দিত, আর কালো পাল্টা বন্দি করে সবকিছু জিতে নিত। সুপারকোর অধীনে এই ধারায় কালোর সেরা ফল একটি ভাগাভাগির জীবন (seki), যার মূল্য মাত্র 3 পয়েন্ট, তাই নিখুঁত খেলা প্রকাশিত ধারা থেকে আগেই সরে যায় — আর ফাঁকা বোর্ড থেকে কালো সর্বোচ্চ যা নিশ্চিত করতে পারে তা হলো 12।

কোনো অনুসন্ধানই ভুল ছিল না। পার্থক্য আসে এমন নিয়ম থেকে, যা কেবল খেলার একেবারে শেষে গুরুত্ব পায়। লেখকদের পরামর্শ: যে প্রথাগুলো পুনরাবৃত্তিকে নিরীহ করে তোলে, সেগুলোর অধীনে হিসাব করা মানকে যাচাই ছাড়া সুপারকো গো-র মান হিসেবে উদ্ধৃত করা উচিত নয়।

যে কেউ যাচাই করতে পারেন

প্রতিটি মান দুটি স্বাধীন প্রমাণের ওপর দাঁড়িয়ে, এবং সমাধানকারীটি কোনো অমিল ছাড়াই কয়েক দশ হাজার পারস্পরিক যাচাইয়ে উতরেছে। খালি গো বোর্ডের আগের সমাধানগুলোর বিপরীতে, সমাধানকারীর সোর্স কোড এবং প্রতিটি ফলাফলের পেছনের সঠিক কমান্ড উন্মুক্ত; 4×7-এর প্রমাণ-শৃঙ্খল কুড়ি সেকেন্ডেরও কম সময়ে আবার চালানো যায়। প্রমাণগুলো এখনো এমন সনদ নয় যা কোনো বাইরের ব্যক্তি স্বাধীনভাবে যাচাই করতে পারেন, আর 6×6 এখনো নাগালের বাইরে — লেখকদের অনুমানে তাঁদের একটি যন্ত্রে প্রায় 50 দিন, বা আরও বেশি।