答えを変えてしまう囲碁のルール

ゲームを解くとは、双方が完璧に打ったときの結果を知ることである。碁盤の上では、その結果は値で表される。完璧に打ったときに黒が何目差で勝つかという数で、4×7盤で28なら、黒が28の交点すべてを占めることを意味する。チェッカーは2007年に解かれ、小さな盤のヘックスも解かれた。囲碁については、交点が30までの多くの盤についてコンピュータによる証明があり、そのほとんどは MIGOS というプログラムによるもの（2003年と2009年）だ。

ただし落とし穴がある。こうした古典的な結果は、繰り返される局面について単純化したルールを使っている。基本的な「コウ」のルール——自分の石を1つ取ったばかりの1つの石を、すぐに取り返すことはできない、さもなければ同じ2手が永遠に繰り返される——に、特別な取り決めを加えたものだ。パスをするとコウの禁止が解ける、同じ局面が繰り返されたら対局を止める、などである。これらの取り決めは、ある局面の価値が、そこにどうたどり着いたかに左右されないように設計されていた。

実際に打たれているルール

条文どおりの中国ルールやコンピュータ囲碁では、ポジショナル・スーパーコウ（positional superko）が使われる。どの手も、その対局ですでに現れた盤面全体の局面を再現してはならない。このルールのもとで解くのははるかに難しい。ある手が合法かどうかが、今や対局の履歴全体に左右されるからだ。解析を可能にしている3つの道具が使えなくなる。

別の経路でたどり着いた同じ局面の結果を再利用すること。2つの経路では禁止される手が違うかもしれない。
探索なしに安全な石の集団と地を認識すること。これは持ち主がいつでも侵入者を取れることを前提にしている。スーパーコウのもとでは、そうした取りが禁じられることがある。
自分の眼——石の集団が生きるために必要な空点の一つ——を埋めるような、決して役に立たない手を枝刈りすること。スーパーコウのもとでは、そうした手が決め手になりうる。

その代償は大きかった。スーパーコウの一種を使うと、MIGOS は4×4盤に1.1時間を要した。基本的なコウなら3.3秒である。5×5盤のスーパーコウでの最初の解は2024年に得られたが、6プロセスで5.25時間かかった。5×5を超える盤で、少なくとも2行以上あるものは、スーパーコウのもとでは一つも解かれていなかった。

正しさを保つ近道

ベルリンのツーゼ研究所（Zuse Institute Berlin）のサミ・カルマ（Sami Kharma）とフロリアン・シンツケ（Florian Schintke）は、Sanko をつくった。その核心は単純な証明転用定理（proof-transfer theorem）である。ある打ち手が勝つという保存された証明は、新しい経路の上でも有効であり続ける。ただし、勝者がつくらなければならない盤面がすでに現れている場合を除く。問題になるのは勝者の盤面だけだ。敗者がある局面をもう再現できなくなっても、敗者は選択肢を一つ失うだけである。この確認にかかる時間は、証明の大きさではなく経路の長さに比例する。3×7盤では、この近道だけで作業量が 6640億ステップから 1億1200万ステップに減る。

彼らはまた、安全な石の集団を見分ける古典的な方法をスーパーコウのもとでも正しいように改良し、勝ちを証明しようとしている側の手だけを枝刈りした。こうすれば、探索に失敗しても「不明」と報告され、決して相手の勝ちとは報告されない。

新しい値

5×5 を6スレッドで 15.7分。以前より約20倍速いが、これには一部ハードウェアの進歩も寄与している。1スレッドでは、4×4は 58倍速く解ける。192スレッドのマシン1台では、5×5は約1分半で済む。
さらに23の盤について初めてスーパーコウでの値を得た。そのうち11はどのルールでも解かれたことがなかった。3×10 の価値は黒にとって 8目。MIGOS は少なくとも6目であることしか証明しておらず、2か月の探索でも上限は見つからなかった。
1行の盤では、1×9から1×15までの値が0, 1, 2, 2と繰り返す。しかし 1×16 でパターンが崩れ、2ではなく1になる。

4×7の意外な結果

古いルールでは、4×7 は全面勝ちである。黒がすべてを取り、28対0。スーパーコウのもとでは価値は 12 になる。著者らは、MIGOS について公開されていた31手の最善手順を再現した。どの手も合法で、それでも黒が盤全体を取る。手順を後ろから解いていくと、25手目の直後で崩れていることがわかった。黒が打った25手目のあとの局面で、白は A2 ではなく G2（または C1）に打つべきなのだ。

その後に続くのは奇妙なコウである。白が石を取る。黒が取り返すと以前の盤面が再現されてしまうので、禁止される。黒のほかの手はどれも自分の石の集団を危険にさらす。黒はパスするしかなく、白もパスし、白の集団が生きたまま対局が終わる。MIGOS の著者らがすでに**「月光の活」**（moonshine life）と呼んでいたものだ。古いルールなら、パスによって禁止が解け、黒は取り返してすべてを勝ち取ることになる。スーパーコウのもとでは、この手順で黒が得られる最善はわずか3目のセキ（双方の石が共に生きる状態）なので、完璧な打ち方は公開された手順からもっと早く外れる。そして空の盤から黒が確保できる最善が12なのである。

どちらの探索も間違っていたわけではない。違いは、対局の最後の最後にしか効いてこないルールから生じている。著者らの助言はこうだ。繰り返しを無害にする取り決めのもとで計算された値を、確認なしにスーパーコウ囲碁の値として引用すべきではない。

誰でも確かめられる

どの値も2つの独立した証明に支えられており、ソルバーは何万回もの照合で一度も食い違わなかった。空の碁盤についての以前の解とは違い、ソルバーのソースコードとすべての結果の背後にある正確なコマンドが公開されている。4×7の証明の連鎖は20秒もかからずに再現できる。ただし、これらの証明は、部外者が独立に検証できる証明書にはまだなっていない。また6×6はいまだ手が届かない。著者らの外挿では、彼らのマシン1台で約50日、あるいはそれ以上かかる。