సమాధానాన్నే మార్చేసే గో ఆట నియమం

ఒక ఆటను పరిష్కరించడం అంటే రెండు వైపులా పరిపూర్ణంగా ఆడినప్పుడు దాని ఫలితం తెలుసుకోవడం. గో బోర్డుపై ఆ ఫలితం ఒక విలువ: పరిపూర్ణంగా ఆడినప్పుడు నలుపు ఎన్ని పాయింట్ల తేడాతో గెలుస్తుందో ఆ సంఖ్య — 4×7 బోర్డుపై 28 అంటే మొత్తం 28 ఖండన బిందువులూ నలుపువే. చెక్కర్స్ 2007లో పరిష్కరించబడింది, చిన్న బోర్డులపై హెక్స్ కూడా. గో విషయంలో, 30 ఖండన బిందువుల వరకు ఉన్న అనేక బోర్డులకు కంప్యూటర్ నిరూపణలు ఉన్నాయి, ఎక్కువగా MIGOS అనే ప్రోగ్రామ్ నుంచి (2003, 2009).

ఒక చిక్కు ఉంది. ఆ సంప్రదాయ ఫలితాలు పునరావృత స్థానాలకు ఒక సరళీకృత నియమాన్ని వాడతాయి — ప్రాథమిక “కో” నియమం, అంటే తమ రాయిని ఒకదాన్ని ఇప్పుడే పట్టుకున్న ఒంటరి రాయిని ఆటగాళ్లు వెంటనే తిరిగి పట్టుకోకూడదు, అలా చేస్తే అదే రెండు ఎత్తులు ఎప్పటికీ చుట్టూ తిరుగుతూ ఉంటాయి — దానితో పాటు ప్రత్యేక సంప్రదాయాలు: ఒక పాస్ కో నిషేధాన్ని ఎత్తివేస్తుంది, పునరావృత స్థానం వద్ద ఆట ఆగిపోతుంది, మొదలైనవి. ఒక స్థానం విలువ దాన్ని ఎలా చేరుకున్నారనే దానిపై ఆధారపడకుండా ఉండేలా ఈ సంప్రదాయాలను రూపొందించారు.

ప్రజలు నిజంగా ఆడే నియమం

రాసిన విధంగా చైనీస్ నియమాలు, కంప్యూటర్ గో, స్థాన సూపర్‌కో (positional superko) ను వాడతాయి: ఏ ఎత్తూ ఆటలో ఇప్పటికే వచ్చిన ఏ పూర్తి-బోర్డు స్థానాన్నీ మళ్లీ సృష్టించకూడదు. ఈ నియమం కింద పరిష్కరించడం చాలా కష్టం, ఎందుకంటే ఇప్పుడు ఒక ఎత్తు చెల్లుబాటు ఆట మొత్తం చరిత్రపై ఆధారపడుతుంది. పరిష్కారాన్ని సాధ్యం చేసే మూడు సాధనాలు దీనివల్ల విరిగిపోతాయి:

• మరో దారిలో చేరుకున్న అదే స్థానం ఫలితాలను మళ్లీ వాడడం — రెండు దారులు వేర్వేరు ఎత్తులను నిషేధించవచ్చు;
• శోధన లేకుండా సురక్షిత గుంపులను, భూభాగాన్ని గుర్తించడం, ఇది యజమాని చొరబాటుదారులను ఎప్పుడూ పట్టుకోగలడని ఊహిస్తుంది — సూపర్‌కో కింద అలా పట్టుకోవడం నిషిద్ధం కావచ్చు;
• ఎప్పుడూ సహాయపడని ఎత్తులను కత్తిరించడం, సొంత కన్ను — ఒక గుంపు బతికి ఉండటానికి అవసరమైన ఖాళీ బిందువుల్లో ఒకటి — నింపడం వంటివి — సూపర్‌కో కింద అలాంటి ఎత్తు నిర్ణయాత్మకం కావచ్చు.

ఖర్చు భారీగా ఉండేది: సూపర్‌కో యొక్క ఒక రూపాంతరంతో, MIGOSకు 4×4 బోర్డుకు 1.1 గంటలు పట్టింది, ప్రాథమిక కో కింద 3.3 సెకన్లతో పోలిస్తే. 5×5 కు మొదటి సూపర్‌కో పరిష్కారం, 2024లో, ఆరు ప్రాసెస్‌లపై 5.25 గంటలు పట్టింది. 5×5 దాటి, కనీసం రెండు వరుసలు ఉన్న ఏ బోర్డూ సూపర్‌కో కింద పరిష్కరించబడలేదు.

సరిగ్గా నిలిచే అడ్డదారి

జూస్ ఇన్‌స్టిట్యూట్ బెర్లిన్ (Zuse Institute Berlin) కు చెందిన సామి ఖార్మా, ఫ్లోరియన్ షింట్కే Sanko ను నిర్మించారు. దాని కేంద్రం ఒక సరళమైన నిరూపణ-బదిలీ సిద్ధాంతం (proof-transfer theorem): ఒక ఆటగాడు గెలుస్తాడని నిల్వ చేసిన నిరూపణ కొత్త దారిలో చెల్లుబాటుగానే ఉంటుంది, విజేత సృష్టించాల్సిన ఒక బోర్డు ఇప్పటికే కనిపించి ఉంటే తప్ప. విజేత బోర్డులు మాత్రమే ముఖ్యం — ఓడిపోయే వ్యక్తి ఒక స్థానాన్ని మళ్లీ సృష్టించలేకపోతే, అతను కేవలం ఒక ఎంపికను కోల్పోతాడు. దీన్ని తనిఖీ చేయడానికి పట్టే సమయం నిరూపణ పరిమాణానికి కాకుండా దారి పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. 3×7 బోర్డుపై, ఈ అడ్డదారి మాత్రమే పనిని 66,400 కోట్ల అడుగుల నుంచి 11.2 కోట్లకు తగ్గిస్తుంది.

వారు సురక్షిత గుంపులను గుర్తించే సంప్రదాయ పద్ధతిని సూపర్‌కో కింద కూడా సరిగ్గా ఉండేలా మార్చారు, తాము ఏ వైపు గెలుపును నిరూపించాలని ప్రయత్నిస్తున్నారో ఆ వైపు ఎత్తులను మాత్రమే కత్తిరించారు, తద్వారా విఫలమైన శోధన తెలియనిదిగా నమోదవుతుంది, ఎప్పుడూ రెండో వైపు విజయంగా కాదు.

కొత్త విలువలు

• 5×5 ఆరు థ్రెడ్లపై 15.7 నిమిషాల్లో — ఇంతకుముందు కంటే సుమారు 20 రెట్లు వేగంగా, పాక్షికంగా మెరుగైన హార్డ్‌వేర్ వల్ల; ఒకే థ్రెడ్‌పై 4×4 58 రెట్లు వేగంగా పరిష్కారమవుతుంది. 192 థ్రెడ్ల ఒక యంత్రంపై 5×5కు సుమారు ఒకటిన్నర నిమిషం పడుతుంది.
• మరో 23 బోర్డుల మొదటి సూపర్‌కో విలువలు; వాటిలో 11 ఏ నియమం కిందా ఎప్పుడూ పరిష్కరించబడలేదు. 3×10 విలువ నలుపుకు 8 పాయింట్లు — MIGOS కనీసం 6 అని మాత్రమే నిరూపించింది, రెండు నెలల శోధన ఎగువ పరిమితిని కనుగొనలేదు.
• ఒకే వరుస బోర్డులపై, 1×9 నుంచి 1×15 వరకు విలువలు 0, 1, 2, 2 గా పునరావృతమవుతాయి — కానీ 1×16 ఆ క్రమాన్ని విరగ్గొడుతుంది, 2కు బదులు 1 విలువ.

4×7 ఆశ్చర్యం

పాత నియమాల కింద, 4×7 పూర్తి-బోర్డు విజయం: నలుపు అన్నింటినీ పట్టుకుంటుంది, 28–0. సూపర్‌కో కింద దాని విలువ 12. రచయితలు MIGOS కోసం ప్రచురించిన 31 ఎత్తుల ఉత్తమ క్రమాన్ని మళ్లీ ఆడారు: ప్రతి ఎత్తూ చెల్లుబాటు అవుతుంది, అయినా నలుపు మొత్తం బోర్డును తీసుకుంటుంది. ఆ క్రమాన్ని వెనక్కి పరిష్కరిస్తూ, వారు 25వ ఎత్తు తర్వాతే విరుగుడును కనుగొన్నారు: నలుపు ఆడిన 25వ ఎత్తు తర్వాతి స్థానంలో, తెలుపు A2కు బదులు G2 (లేదా C1) ఆడాలి.

తర్వాత వచ్చేది ఒక విచిత్రమైన కో. తెలుపు పట్టుకుంటుంది; నలుపు తిరిగి పట్టుకుంటే పాత బోర్డు మళ్లీ సృష్టించబడుతుంది — నిషిద్ధం. నలుపు ఇతర ప్రతి ఎత్తూ దాని సొంత గుంపును ప్రమాదంలో పడేస్తుంది. నలుపు పాస్ చేయాల్సి వస్తుంది, తెలుపు పాస్ చేస్తుంది, తెలుపు గుంపు సజీవంగా ఉండగా ఆట ముగుస్తుంది: MIGOS రచయితలు ఇంతకుముందే “వెన్నెల జీవితం” (moonshine life) అని పిలిచినది. పాత నియమాల కింద, పాస్ నిషేధాన్ని ఎత్తివేస్తుంది, నలుపు తిరిగి పట్టుకుని అన్నింటినీ గెలుస్తుంది. సూపర్‌కో కింద, ఈ క్రమంలో నలుపుకు దక్కే ఉత్తమ ఫలితం కేవలం 3 పాయింట్ల విలువైన ఉమ్మడి జీవితం (seki), కాబట్టి పరిపూర్ణ ఆట ప్రచురించిన క్రమం నుంచి ఇంకా ముందే వైదొలగుతుంది — ఖాళీ బోర్డు నుంచి నలుపు సాధించగల ఉత్తమ ఫలితం 12.

ఏ శోధనా తప్పు కాదు. తేడా ఆట చివరి క్షణాల్లో మాత్రమే ప్రాముఖ్యం పొందే నియమాల నుంచి వస్తుంది. రచయితల సలహా: పునరావృతాన్ని హానిరహితం చేసే సంప్రదాయాల కింద లెక్కించిన విలువలను తనిఖీ చేయకుండా సూపర్‌కో గో విలువలుగా ఉదహరించకూడదు.

ఎవరైనా తనిఖీ చేయగలిగేది

ప్రతి విలువ రెండు స్వతంత్ర నిరూపణలపై ఆధారపడి ఉంటుంది, సాల్వర్ పదుల వేల అడ్డ-తనిఖీలను ఒక్క పొంతనలేమి లేకుండా దాటింది. ఖాళీ గో బోర్డుల పాత పరిష్కారాలకు భిన్నంగా, సాల్వర్ సోర్స్ కోడ్, ప్రతి ఫలితం వెనుక ఉన్న కచ్చితమైన కమాండ్ పబ్లిక్‌గా ఉన్నాయి; 4×7 నిరూపణల గొలుసు ఇరవై సెకన్లలోపే మళ్లీ నడుస్తుంది. ఈ నిరూపణలు బయటి వ్యక్తి స్వతంత్రంగా ధృవీకరించగల సర్టిఫికెట్లు ఇంకా కావు, 6×6 ఇంకా అందుబాటులో లేదు — రచయితల బహిర్వేశనం ప్రకారం, వారి ఒక యంత్రంపై సుమారు 50 రోజులు, లేదా ఎక్కువ.