UNA BOLA LISA QUE SOLO ES REDONDA EN UN PUNTO
Una pelota se curva igual en todas las direcciones. El costado de un balón de rugby no: se curva mucho alrededor de su contorno y solo un poco a lo largo. En cada punto de una superficie, los geómetras anotan la curvatura más fuerte y la más débil, cuyas direcciones siempre forman un ángulo recto entre sí; son las dos curvaturas principales. Un punto donde son iguales, donde la superficie se curva igual en todas las direcciones, se llama punto umbilical. En una esfera perfecta, todos los puntos lo son.
Contar vueltas alrededor de un punto umbilical
Lejos de los puntos umbilicales, las direcciones de curvatura más fuerte y más débil trazan dos familias de líneas sobre la superficie, que se cruzan en ángulo recto en todas partes. Si se recorre una vez un pequeño lazo alrededor de un punto umbilical aislado siguiendo una de estas líneas, se ve que gira. El número de vueltas que da es el índice del punto umbilical. Como una línea no tiene flecha, puede volver a coincidir consigo misma tras media vuelta, así que el índice puede ser un semientero como 3/2.
Dos conjeturas, tal como las enuncia el artículo:
- Conjetura de Loewner: el índice de un punto umbilical aislado es como mucho 1.
- Conjetura de Carathéodory: una superficie regular, convexa y cerrada (una superficie lisa, sin aristas, que se abomba hacia fuera en todas partes, como un huevo) en el espacio tridimensional ordinario tiene al menos dos puntos umbilicales.
Las dos están relacionadas. En una superficie convexa cerrada cuyos puntos umbilicales están aislados, los índices siempre suman 2. Si ninguno pudiera superar 1, harían falta al menos dos puntos umbilicales: la conjetura de Loewner implicaría la de Carathéodory. Un punto umbilical solitario tendría que cargar él solo con todo el 2, y refutaría ambas.
Anunciados en agosto, reconstruidos con senos
Los primeros contraejemplos no proceden de este artículo. Según su introducción, L. Alpöge anunció contraejemplos a ambas conjeturas para superficies lisas, «desarrollados con ayuda de IA», en una publicación en X fechada el 19 de agosto de 2026. La construcción local de Alpöge ya alcanza un índice de 1 + k/2 para todo número entero positivo k, y Alpöge da cuenta de una superficie cerrada y estrictamente convexa con exactamente un punto umbilical, de índice 2.
Naoya Ando, de la Universidad de Kumamoto, y Masaaki Umehara, del Institute of Science Tokyo, se propusieron dar «una construcción más sencilla mediante una variante de la construcción de Alpöge». La función de partida de Alpöge combina tres cosenos con coeficientes −1/4, 3/10 y −1/32, dentro de funciones en las que intervienen constantes como 10¹⁰ y 100. Su «semilla» es:
F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, con a(t) = sin⁴t + 3 sin²t
Imagine una función de dos variables como un paisaje de montículos y hondonadas. La semilla necesita una propiedad: en ningún lugar puede este paisaje curvarse igual en todas las direcciones. En términos técnicos, su hessiana sin traza, la tabla de segundas derivadas despojada de su parte «igual en todas las direcciones», nunca se anula. Para esta semilla, la comprobación ocupa tres líneas. La propiedad se condensa en un único número complejo —un par de números ordinarios, una parte «real» y una parte «imaginaria», que solo es cero si ambas lo son—: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Su parte imaginaria solo se anula donde se anula un coseno; allí un seno vale ±1, así que su parte real es como mucho −4. Así que nunca es cero.
Los autores declaran que usaron ChatGPT para ayudar a buscar funciones candidatas y para revisar el texto, y que verificaron ellos mismos cada argumento.
Plegar un patrón infinito en un punto
La semilla se repite indefinidamente por todo el plano. Los autores la comprimen entera en un disco diminuto: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), donde z es un punto del plano escrito como un único número complejo y k un número entero positivo que los autores pueden elegir libremente. La sustitución envía las regiones lejanas del plano hacia el centro, de modo que el patrón de senos se amontona en anillos cada vez más apretados a su alrededor. El factor exponencial lo aplasta todo: en el centro, la función y todas sus derivadas valen cero. Los matemáticos llaman plana a una función así.
Alrededor de ese centro, las direcciones de curvatura más fuerte de este paisaje giran 1 + k/2 veces: 3/2 para k = 1, 2 para k = 2, 5/2 para k = 3, sin límite superior (teorema 1.3). Junto con Fujiyama, los mismos dos autores ya habían alcanzado índices arbitrariamente grandes con ejemplos que en el punto umbilical solo son C¹, es decir, derivables una vez; estos nuevos son lisos.
Para convertir un paisaje en una superficie, los autores usan una función soporte: para cada dirección, da la distancia desde un centro hasta el plano que toca la superficie por ese lado, como una regla apoyada contra un guijarro. Una función soporte constante describe una esfera. Sumar a esa constante un pequeño múltiplo del paisaje da una superficie cuyos puntos umbilicales e índices coinciden con los del paisaje. Es una correspondencia clásica; el artículo solo demuestra la parte que necesita para la superficie cerrada y cita el resto. Resultado: pequeños trozos de superficie lisa que portan puntos umbilicales de índice 1 + k/2 para todo k, de modo que el índice no tiene techo. Lo mismo vale para una clase de superficies en el espacio de Lorentz–Minkowski, donde, en la fórmula de Pitágoras para la distancia, el cuadrado de una de las tres diferencias de coordenadas se resta en lugar de sumarse.
El único punto umbilical está en el polo norte
Para la superficie cerrada, el plano infinito de la semilla se envuelve alrededor de una esfera, como una proyección cartográfica al revés: cubre todos sus puntos salvo el polo norte, donde convergen todas sus regiones lejanas. La semilla se amortigua de otra manera, de modo que se desvanece más rápido que cualquier potencia de la distancia al centro de ese plano, y se suma un pequeño múltiplo ε de ella a la función soporte de la esfera. Para ε lo bastante pequeño, el resultado es una superficie cerrada, casi redonda y estrictamente convexa: se abomba hacia fuera en todas partes. En todos los puntos salvo uno, la propiedad de la semilla descarta un punto umbilical. La excepción es el polo norte, N = (0, 0, 1): allí, la función soporte coincide con la de la esfera en todas sus derivadas, así que N es un punto umbilical, y el único (teorema 2.2). Como los índices deben sumar 2, su índice es 2. Un solo punto umbilical: la conjetura de Carathéodory cae. Índice 2, mayor que 1: la de Loewner también.
Lisa, pero no analítica
Todas las superficies del artículo son infinitamente derivables, o «lisas». Los autores precisan que sus superficies en el espacio ordinario no son analíticas reales, un tipo de lisura más estricto en el que, cerca de cada punto, la forma viene dada exactamente por una suma infinita de potencias. El artículo no dice nada sobre si las superficies analíticas pueden tener un único punto umbilical. Se presenta como autocontenido en lo que respecta al punto umbilical de índice 2 y al contraejemplo a la conjetura de Carathéodory. Y no contiene ninguna imagen de la superficie: de las dos constantes que le dan forma, δ y ε, solo se exige que sean «suficientemente pequeñas», y no se da ningún valor.