BOLA MULUS YANG BUNDAR HANYA DI SATU TITIK
Sebuah bola melengkung sama ke segala arah. Sisi bola rugbi tidak: ia melengkung tajam di sekeliling lingkarnya dan hanya landai di sepanjang panjangnya. Di setiap titik suatu permukaan, para ahli geometri mencatat lengkungan terkuat dan terlemah, yang arah-arahnya selalu saling tegak lurus; keduanya adalah dua kelengkungan utama (principal curvatures). Titik tempat keduanya sama, tempat permukaan melengkung sama ke semua arah, disebut umbilik. Pada bola sempurna, setiap titik adalah umbilik.
Menghitung putaran di sekitar umbilik
Jauh dari umbilik, arah-arah lengkungan terkuat dan terlemah menggambar dua keluarga garis di permukaan, yang saling bersilangan tegak lurus di mana-mana. Berjalanlah sekali mengelilingi sebuah umbilik terisolasi melalui lingkaran kecil dan ikuti salah satu garis itu: ia berputar. Banyaknya putaran yang ia buat adalah indeks umbilik itu. Karena garis tidak punya panah, ia bisa kembali menimpa dirinya sendiri setelah setengah putaran, sehingga indeksnya bisa berupa setengah bilangan bulat seperti 3/2.
Dua konjektur, sebagaimana dirumuskan dalam makalah:
- Konjektur Loewner: indeks sebuah umbilik terisolasi paling besar 1.
- Konjektur Carathéodory: sebuah permukaan reguler cembung tertutup (permukaan mulus tanpa tepi yang menggembung ke luar di mana-mana, seperti telur) di ruang tiga dimensi biasa memiliki sedikitnya dua umbilik.
Keduanya saling terkait. Pada permukaan cembung tertutup yang umbiliknya terisolasi, indeks-indeksnya selalu berjumlah 2. Jika tak satu pun bisa melebihi 1, diperlukan sedikitnya dua umbilik: konjektur Loewner akan mengimplikasikan konjektur Carathéodory. Satu umbilik tunggal harus menanggung seluruh angka 2 itu sendirian, dan mematahkan keduanya.
Diumumkan pada Agustus, dibangun ulang dari sinus
Contoh penyangkal pertama tidak berasal dari makalah ini. Menurut pendahuluannya, L. Alpöge mengumumkan contoh penyangkal untuk kedua konjektur bagi permukaan mulus, “dikembangkan dengan bantuan AI”, dalam sebuah unggahan di X bertanggal 19 Agustus 2026. Konstruksi lokal Alpöge sudah mencapai indeks 1 + k/2 untuk setiap bilangan bulat positif k, dan Alpöge melaporkan sebuah permukaan tertutup yang cembung tegas dengan tepat satu umbilik, berindeks 2.
Naoya Ando, dari Universitas Kumamoto, dan Masaaki Umehara, dari Institute of Science Tokyo, berupaya memberikan “konstruksi yang lebih sederhana melalui varian dari konstruksi Alpöge”. Fungsi awal Alpöge menggabungkan tiga kosinus dengan koefisien −1/4, 3/10, dan −1/32, di dalam fungsi-fungsi yang melibatkan konstanta seperti 10¹⁰ dan 100. “Benih” mereka adalah:
F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, dengan a(t) = sin⁴t + 3 sin²t
Bayangkan fungsi dua variabel sebagai bentang alam berisi tonjolan dan cekungan. Benih ini hanya memerlukan satu sifat: tidak di mana pun bentang alam ini boleh melengkung sama ke semua arah. Dalam istilah teknis, Hessian bebas-jejaknya (trace-free Hessian), yaitu tabel turunan kedua yang dilucuti dari bagian “sama ke semua arah”-nya, tidak pernah lenyap. Untuk benih ini, pemeriksaannya cukup tiga baris. Sifat itu dikemas dalam satu bilangan kompleks — sepasang bilangan biasa, bagian “riil” dan bagian “imajiner”, yang bernilai nol hanya jika keduanya nol: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Bagian imajinernya lenyap hanya di tempat sebuah kosinus lenyap; di sana sebuah sinus bernilai ±1, sehingga bagian riilnya paling besar −4. Jadi bilangan itu tak pernah nol.
Para penulis menyatakan bahwa mereka menggunakan ChatGPT untuk membantu mencari fungsi-fungsi kandidat dan untuk merevisi teks, dan bahwa mereka memverifikasi sendiri setiap argumennya.
Melipat pola tak berujung ke dalam satu titik
Benih itu berulang tanpa akhir di seluruh bidang. Para penulis memampatkan semuanya ke dalam sebuah cakram mungil: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), dengan z sebuah titik pada bidang yang ditulis sebagai satu bilangan kompleks dan k bilangan bulat positif yang bebas dipilih oleh para penulis. Substitusi itu mengirim wilayah-wilayah jauh dari bidang ke arah pusat, sehingga pola sinus menumpuk dalam cincin-cincin yang makin rapat di sekelilingnya. Faktor eksponensial meremukkan semuanya: di pusat, fungsi itu dan semua turunannya bernilai nol. Matematikawan menyebut fungsi semacam itu datar (flat).
Di sekitar pusat itu, arah-arah lengkungan terkuat dari bentang alam ini berputar 1 + k/2 kali: 3/2 untuk k = 1, 2 untuk k = 2, 5/2 untuk k = 3, tanpa batas atas (Teorema 1.3). Bersama Fujiyama, kedua penulis yang sama sebelumnya telah mencapai indeks yang besarnya sembarang dengan contoh-contoh yang di umbiliknya hanya C¹, yakni terdiferensialkan sekali; contoh-contoh baru ini mulus.
Untuk mengubah bentang alam menjadi permukaan, para penulis memakai fungsi penopang (support function): untuk setiap arah, fungsi ini memberikan jarak dari suatu pusat ke bidang datar yang menyentuh permukaan di sisi itu, seperti penggaris yang ditekankan ke sebutir kerikil. Fungsi penopang yang konstan menggambarkan sebuah bola. Menambahkan kelipatan kecil dari bentang alam itu ke konstanta tersebut menghasilkan permukaan yang umbilik dan indeksnya cocok dengan milik bentang alam. Ini adalah korespondensi klasik; makalah ini hanya membuktikan bagian yang diperlukannya untuk permukaan tertutup dan merujuk sisanya. Hasilnya: potongan-potongan kecil permukaan mulus yang membawa umbilik berindeks 1 + k/2 untuk setiap k, sehingga indeksnya tidak punya batas atas. Hal yang sama berlaku untuk satu kelas permukaan di ruang Lorentz–Minkowski, tempat, dalam rumus Pythagoras untuk jarak, kuadrat salah satu dari tiga selisih koordinat dikurangkan alih-alih ditambahkan.
Satu-satunya umbilik berada di kutub utara
Untuk permukaan tertutup, bidang tak berujung tempat benih itu berada dibungkuskan pada sebuah bola, seperti proyeksi peta yang dijalankan terbalik: bidang itu menutupi setiap titik kecuali kutub utara, tempat semua wilayah jauhnya bertemu. Benih itu diredam dengan cara lain, sehingga memudar lebih cepat daripada pangkat berapa pun dari jarak ke pusat bidang itu, dan kelipatan kecil ε darinya ditambahkan ke fungsi penopang bola tersebut. Untuk ε yang cukup kecil, hasilnya adalah permukaan tertutup, hampir bundar, dan cembung tegas: ia menggembung ke luar di mana-mana. Di setiap titik kecuali satu, sifat benih itu menyingkirkan kemungkinan umbilik. Pengecualiannya adalah kutub utara, N = (0, 0, 1): di sana, fungsi penopangnya cocok dengan milik bola pada setiap turunan, sehingga N adalah umbilik, dan satu-satunya (Teorema 2.2). Karena indeks-indeksnya harus berjumlah 2, indeksnya adalah 2. Satu umbilik: konjektur Carathéodory gugur. Indeks 2, lebih dari 1: begitu pula konjektur Loewner.
Mulus, tetapi tidak analitik
Setiap permukaan dalam makalah ini terdiferensialkan tak hingga kali, atau “mulus”. Para penulis menegaskan bahwa permukaan mereka di ruang biasa tidak analitik riil, jenis kemulusan yang lebih ketat, yang di dekat setiap titik bentuknya diberikan secara tepat oleh jumlah tak hingga dari pangkat-pangkat. Makalah ini tidak mengatakan apa pun tentang apakah permukaan analitik bisa memiliki satu umbilik saja. Makalah ini menyebut dirinya mandiri untuk umbilik berindeks 2 dan contoh penyangkal konjektur Carathéodory. Dan ia tidak memuat gambar permukaan itu: dua konstanta yang membentuknya, δ dan ε, hanya disyaratkan “cukup kecil”, dan tidak ada nilai yang diberikan.