फक्त एकाच बिंदूवर गोल असलेला एक गुळगुळीत चेंडू

चेंडू प्रत्येक दिशेने सारखाच वक्र असतो. रग्बीच्या चेंडूची बाजू तशी नसते: तो आपल्या घेराभोवती तीव्रपणे वाकतो आणि लांबीच्या बाजूने फक्त सौम्यपणे. पृष्ठभागाच्या प्रत्येक बिंदूवर भूमितिज्ञ सर्वात तीव्र आणि सर्वात सौम्य वाकणे नोंदवतात; त्यांच्या दिशा नेहमी एकमेकांशी काटकोनात असतात. ही दोन म्हणजे प्रधान वक्रता (principal curvatures). जिथे त्या समान असतात, म्हणजे जिथे पृष्ठभाग सर्व दिशांनी सारखाच वाकतो, त्या बिंदूला नाभिबिंदू (umbilic) म्हणतात. परिपूर्ण चेंडूवर प्रत्येक बिंदू नाभिबिंदूच असतो.

नाभिबिंदूभोवतीच्या फेऱ्या मोजणे

नाभिबिंदूंपासून दूर, सर्वात तीव्र आणि सर्वात सौम्य वाकण्याच्या दिशा पृष्ठभागावर रेषांची दोन कुटुंबे रेखाटतात, जी सर्वत्र एकमेकांना काटकोनात छेदतात. एका विलग नाभिबिंदूभोवती एका लहान वळणमार्गावरून एकदा फेरी मारा आणि यांपैकी एका रेषेचा माग काढा: ती फिरते. ती जितक्या फेऱ्या घेते, ती संख्या म्हणजे त्या नाभिबिंदूचा सूचकांक (index). रेषेला बाणाचे टोक नसल्यामुळे ती अर्ध्या फेरीनंतरच पुन्हा स्वतःवर येऊ शकते, त्यामुळे सूचकांक 3/2 सारखा अर्धपूर्णांकही असू शकतो.

शोधनिबंध ज्या प्रकारे मांडतो त्याप्रमाणे, दोन अटकळी:

• Loewner यांची अटकळ: विलग नाभिबिंदूचा सूचकांक जास्तीत जास्त 1 असतो.
• Carathéodory यांची अटकळ: सामान्य त्रिमितीय अवकाशातील बंद बहिर्वक्र नियमित पृष्ठभागावर (अंड्यासारखा, कोणतीही कड नसलेला आणि सर्वत्र बाहेरच्या बाजूला फुगलेला गुळगुळीत पृष्ठभाग) किमान दोन नाभिबिंदू असतात.

या दोन्ही एकमेकांशी जोडलेल्या आहेत. ज्याचे नाभिबिंदू विलग आहेत अशा बंद बहिर्वक्र पृष्ठभागावर सूचकांकांची बेरीज नेहमी 2 होते. कोणताही सूचकांक 1 पेक्षा जास्त होऊ शकत नसेल, तर किमान दोन नाभिबिंदू लागतील: Loewner यांची अटकळ Carathéodory यांची अटकळ सूचित करेल. एकट्या नाभिबिंदूला संपूर्ण 2 एकट्यानेच वाहावे लागेल, आणि तो दोन्ही अटकळी मोडेल.

ऑगस्टमध्ये जाहीर, साइन फलनांपासून पुन्हा रचलेले

पहिली प्रत्युदाहरणे या शोधनिबंधातून आली नाहीत. त्याच्या प्रस्तावनेनुसार, L. Alpöge यांनी 19 ऑगस्ट 2026 रोजीच्या X वरील एका पोस्टमध्ये गुळगुळीत पृष्ठभागांसाठी दोन्ही अटकळींची प्रत्युदाहरणे जाहीर केली, जी “AI च्या साहाय्याने विकसित” केली होती. Alpöge यांची स्थानिक रचना प्रत्येक धन पूर्ण संख्या k साठी आधीच 1 + k/2 सूचकांक गाठते, आणि Alpöge एका बंद, काटेकोरपणे बहिर्वक्र पृष्ठभागाची नोंद करतात, ज्यावर नेमका एकच नाभिबिंदू आहे, ज्याचा सूचकांक 2 आहे.

कुमामोटो विद्यापीठाचे Naoya Ando आणि इन्स्टिट्यूट ऑफ सायन्स टोकियोचे Masaaki Umehara यांनी “Alpöge यांच्या रचनेच्या एका रूपांतराद्वारे एक अधिक सोपी रचना” देण्याचे ठरवले. Alpöge यांचे सुरुवातीचे फलन −1/4, 3/10 आणि −1/32 या सहगुणकांसह तीन कोसाइन एकत्र करते, आणि तेही 10¹⁰ आणि 100 सारखे स्थिरांक असलेल्या फलनांच्या आत. त्यांचे “बीज” असे आहे:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, जिथे a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

दोन चलांच्या फलनाची कल्पना उंचवटे आणि खळगे असलेल्या भूप्रदेशासारखी करा. बीजाला एकच गुणधर्म लागतो: हा भूप्रदेश कुठेही सर्व दिशांनी सारखा वाकता कामा नये. तांत्रिक भाषेत, त्याचा trace-free Hessian, म्हणजे द्वितीय अवकलजांच्या तक्त्यातून त्याचा “प्रत्येक दिशेने सारखा” भाग काढून टाकल्यावर उरणारा भाग, कधीच शून्य होत नाही. या बीजासाठी ही तपासणी तीन ओळींत होते. हा गुणधर्म एका संमिश्र संख्येत सामावलेला आहे — म्हणजे “वास्तव” आणि “काल्पनिक” भाग असलेली सामान्य संख्यांची जोडी, जी दोन्ही शून्य असतील तरच शून्य होते: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. तिचा काल्पनिक भाग फक्त जिथे एखादा कोसाइन शून्य होतो तिथेच शून्य होतो; तिथे एक साइन ±1 असतो, त्यामुळे तिचा वास्तव भाग जास्तीत जास्त −4 असतो. म्हणून ती कधीच शून्य होत नाही.

लेखक नमूद करतात की उमेदवार फलने शोधण्यासाठी आणि मजकूर सुधारण्यासाठी त्यांनी ChatGPT चा वापर केला, आणि प्रत्येक युक्तिवाद त्यांनी स्वतः पडताळला.

एका अंतहीन आकृतिबंधाची एका बिंदूत घडी

हे बीज संपूर्ण प्रतलावर अखंड पुनरावृत्त होते. लेखक ते सगळे एका अगदी लहान चकतीत दाबून बसवतात: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), इथे z म्हणजे एकाच संमिश्र संख्येच्या रूपात लिहिलेला प्रतलातील एक बिंदू, आणि k ही लेखक मुक्तपणे निवडू शकतात अशी एक धन पूर्णांक संख्या. हे प्रतिस्थापन प्रतलाचे दूरदूरचे भाग केंद्राकडे पाठवते, त्यामुळे साइनचा आकृतिबंध केंद्राभोवती अधिकाधिक घट्ट वलयांमध्ये रचला जातो. घातांकीय गुणक सर्व काही चिरडून टाकतो: केंद्रावर फलन आणि त्याचे सर्व अवकलज शून्य असतात. गणितज्ञ अशा फलनाला सपाट (flat) म्हणतात.

त्या केंद्राभोवती या भूप्रदेशाच्या सर्वात तीव्र वाकण्याच्या दिशा 1 + k/2 फेऱ्या घेतात: k = 1 साठी 3/2, k = 2 साठी 2, k = 3 साठी 5/2, कोणत्याही वरच्या मर्यादेशिवाय (प्रमेय 1.3). Fujiyama यांच्यासोबत याच दोन लेखकांनी पूर्वी हवे तितके मोठे सूचकांक गाठले होते, पण त्या उदाहरणांत नाभिबिंदूवर फक्त C¹, म्हणजे एकदाच अवकलनीय, गुळगुळीतपणा होता; ही नवी उदाहरणे गुळगुळीत आहेत.

भूप्रदेशाचे पृष्ठभागात रूपांतर करण्यासाठी लेखक आधार फलन (support function) वापरतात: प्रत्येक दिशेसाठी ते एका केंद्रापासून, त्या बाजूने पृष्ठभागाला स्पर्श करणाऱ्या सपाट प्रतलापर्यंतचे अंतर देते, जणू एखाद्या गोट्याला दाबून लावलेली पट्टी. स्थिर आधार फलन गोलाचे वर्णन करते. त्या स्थिरांकात भूप्रदेशाचा एक लहान पट मिळवला, तर असा पृष्ठभाग मिळतो ज्याचे नाभिबिंदू आणि सूचकांक भूप्रदेशाच्या नाभिबिंदूंशी आणि सूचकांकांशी जुळतात. ही एक अभिजात संगती आहे; शोधनिबंध फक्त बंद पृष्ठभागासाठी आवश्यक तेवढा भाग सिद्ध करतो आणि उरलेल्यासाठी संदर्भ देतो. परिणाम: प्रत्येक k साठी 1 + k/2 सूचकांकाचे नाभिबिंदू वाहणारे गुळगुळीत पृष्ठभागाचे लहान तुकडे, त्यामुळे सूचकांकाला कोणतेही छत नाही. हेच लॉरेन्ट्झ–मिन्कोव्स्की अवकाशातील एका प्रकारच्या पृष्ठभागांनाही लागू होते, जिथे अंतराच्या पायथागोरसच्या सूत्रात तीन निर्देशकांच्या फरकांपैकी एकाचा वर्ग मिळवण्याऐवजी वजा केला जातो.

एकमेव नाभिबिंदू उत्तर ध्रुवावर

बंद पृष्ठभागासाठी, बीजाचे अनंत प्रतल एका गोलाभोवती गुंडाळले जाते, जणू नकाशा-प्रक्षेपण उलट्या दिशेने चालवले आहे: ते उत्तर ध्रुव सोडून प्रत्येक बिंदू व्यापते, आणि उत्तर ध्रुवावर त्याचे सर्व दूरदूरचे भाग एकत्र येतात. बीज दुसऱ्या प्रकारे क्षीण केले जाते, जेणेकरून ते त्या प्रतलाच्या केंद्रापासूनच्या अंतराच्या कोणत्याही घातापेक्षा अधिक वेगाने विरून जाईल, आणि त्याचा एक लहान पट ε त्या गोलाच्या आधार फलनात मिळवला जातो. ε पुरेसा लहान असेल, तर परिणाम म्हणजे एक बंद, जवळजवळ गोल, काटेकोरपणे बहिर्वक्र पृष्ठभाग: तो सर्वत्र बाहेरच्या बाजूला फुगलेला असतो. एक सोडून प्रत्येक बिंदूवर, बीजाचा गुणधर्म नाभिबिंदूची शक्यता नाकारतो. अपवाद म्हणजे उत्तर ध्रुव, N = (0, 0, 1): तिथे आधार फलन प्रत्येक अवकलजात गोलाच्या आधार फलनाशी जुळते, म्हणून N हा नाभिबिंदू आहे, आणि तोच एकमेव (प्रमेय 2.2). सूचकांकांची बेरीज 2 व्हावीच लागत असल्याने त्याचा सूचकांक 2 आहे. एकच नाभिबिंदू: Carathéodory यांची अटकळ अपयशी ठरते. सूचकांक 2, म्हणजे 1 पेक्षा जास्त: Loewner यांचीही.

गुळगुळीत, पण विश्लेषिक नाही

शोधनिबंधातील प्रत्येक पृष्ठभाग अनंत वेळा अवकलनीय, म्हणजे “गुळगुळीत”, आहे. लेखक स्पष्ट करतात की सामान्य अवकाशातील त्यांचे पृष्ठभाग वास्तव विश्लेषिक (real analytic) नाहीत; हा गुळगुळीतपणाचा एक अधिक काटेकोर प्रकार आहे, ज्यात प्रत्येक बिंदूजवळ आकार घातांच्या अनंत बेरजेने नेमका दिला जातो. विश्लेषिक पृष्ठभागांवर एकच नाभिबिंदू असू शकतो का, याबद्दल शोधनिबंध काहीच सांगत नाही. सूचकांक-2 नाभिबिंदूसाठी आणि Carathéodory यांच्या अटकळीच्या प्रत्युदाहरणासाठी तो स्वतःला स्वयंपूर्ण म्हणवतो. आणि त्यात पृष्ठभागाचे कोणतेही चित्र नाही: त्याला आकार देणारे δ आणि ε हे दोन स्थिरांक फक्त “पुरेसे लहान” असणे आवश्यक आहे, आणि त्यांचे कोणतेही मूल्य दिलेले नाही.