一个只在一点上是“圆”的光滑球体

球在每个方向上的弯曲程度都一样。橄榄球的侧面则不然：它绕着腰身弯得很厉害，顺着长度方向却只是微微弯曲。在曲面上的每一点，几何学家都会记下最强和最弱的弯曲，二者的方向总是互相垂直；它们就是两个主曲率。两者相等的点——曲面在所有方向上弯曲程度都相同——称为脐点（umbilic）。在一个完美的球面上，每一点都是脐点。

绕着脐点数圈数

在脐点以外，最强弯曲和最弱弯曲的方向在曲面上画出两族曲线，处处以直角相交。沿一个小圈绕一个孤立脐点走一周，同时跟随其中一条曲线：它会转动。它转过的圈数就是该脐点的指标（index）。由于线没有箭头，转半圈就能与自身重合，因此指标可以是像3/2这样的半整数。

论文是这样表述这两个猜想的：

• 勒夫纳猜想（Loewner’s conjecture）：孤立脐点的指标至多为1。
• 卡拉泰奥多里猜想（Carathéodory’s conjecture）：普通三维空间中的封闭凸正则曲面（一种没有棱边、处处向外鼓起的光滑曲面，就像鸡蛋）至少有两个脐点。

两者相互关联。在脐点都孤立的封闭凸曲面上，所有指标之和总是2。如果每个指标都不能超过1，就至少需要两个脐点：勒夫纳猜想将蕴含卡拉泰奥多里猜想。一个孤零零的脐点则必须独自承担全部的2，从而同时打破这两个猜想。

8月宣布，用正弦重建

最早的反例并非来自这篇论文。据论文引言，L. Alpöge 在 X 上一篇日期为2026年8月19日的帖子中宣布了这两个猜想在光滑曲面情形下的反例，这些反例是“借助人工智能开发的”。Alpöge 的局部构造已经能对每个正整数 k 达到 1 + k/2 的指标，Alpöge 还报告了一个只有一个脐点、指标为2的封闭严格凸曲面。

熊本大学的 Naoya Ando 和东京科学大学的 Masaaki Umehara 着手给出“通过 Alpöge 构造的一个变体实现的更简单构造”。Alpöge 的起始函数把三个余弦组合在一起，系数分别为 −1/4、3/10 和 −1/32，并嵌在含有 10¹⁰ 和 100 等常数的函数之中。他们的“种子”是：

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y，其中 a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

把二元函数想象成一片有凸起也有凹陷的地形。种子只需要一个性质：这片地形在任何地方都不能在所有方向上弯曲程度相同。用专业术语说，它的无迹黑塞矩阵（trace-free Hessian）——即去掉了“各方向相同”那部分的二阶导数表——处处不为零。对于这个种子，验证只需三行。这个性质可以浓缩成一个复数——即一对普通的数，分为“实部”和“虚部”，只有两者都为零时它才为零：12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y。它的虚部只在某个余弦为零的地方才为零；在那里，某个正弦等于±1，因此它的实部至多为 −4。因此它永远不为零。

作者表示，他们使用 ChatGPT 帮助搜索候选函数并修改文本，并亲自验证了每一个论证。

把无尽的图案折进一个点

种子在整个平面上无限重复。作者把它全部压缩进一个小圆盘：H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2))，其中 z 是平面上的一个点，写成单个复数，k 是作者可以自由选取的正整数。这个代换把平面的遥远之处送向中心，于是正弦图案在中心周围堆叠成越来越紧密的圆环。指数因子把一切都压扁了：在中心，函数及其所有导数都为零。数学家把这样的函数称为平坦的（flat）。

在这个中心周围，这片地形的最强弯曲方向转了 1 + k/2 圈：k = 1 时为3/2，k = 2 时为2，k = 3 时为5/2，没有上限（定理1.3）。此前，这两位作者曾与 Fujiyama 合作，用在脐点处只是 C¹（一次可微）的例子达到了任意大的指标；这些新例子则是光滑的。

为了把地形变成曲面，作者使用了支撑函数（support function）：对每个方向，它给出从中心到在该侧与曲面相切的平面的距离，就像把一把尺子压在一块鹅卵石上。常数支撑函数描述的是球面。在这个常数上加上地形的一个小倍数，就得到一个曲面，其脐点和指标都与地形的相对应。这是一个经典的对应关系；论文只证明了封闭曲面所需的那部分，其余部分则引用文献。结果是：一些小块光滑曲面，对每个 k 都带有指标为 1 + k/2 的脐点，因此指标没有上限。对洛伦兹–闵可夫斯基空间中的一类曲面也同样成立，在那种空间里，按毕达哥拉斯的距离公式计算时，三个坐标差中有一个的平方要减去，而不是加上。

唯一的脐点位于北极

对于封闭曲面，种子所在的无穷平面被包裹到一个球面上，就像把地图投影反过来做：它覆盖除北极以外的每一点，平面所有遥远之处都汇聚到北极。种子以另一种方式衰减，使它比到该平面中心距离的任何次幂都衰减得更快，然后把它的一个小倍数 ε 加到这个球面的支撑函数上。当 ε 足够小时，结果是一个封闭的、近乎正圆的严格凸曲面：它处处向外鼓起。除了一个点以外，在其他每一点，种子的性质都排除了脐点的存在。例外的是北极 N = (0, 0, 1)：在那里，支撑函数的每一阶导数都与球面的一致，因此 N 是一个脐点，而且是唯一的脐点（定理2.2）。由于指标之和必须为2，它的指标就是 2。只有一个脐点：卡拉泰奥多里猜想不成立。指标为2，大于1：勒夫纳猜想同样不成立。

光滑，但不解析

论文中的每个曲面都是无穷次可微的，即“光滑的”。作者明确指出，他们在普通空间中的曲面不是实解析的（real analytic）——这是一种更严格的光滑性：在每一点附近，形状都恰好由一个无穷幂级数给出。论文没有讨论解析曲面能否只有一个脐点。论文称，对于指标为2的脐点以及卡拉泰奥多里猜想的反例，它是自成体系的。论文中也没有这个曲面的图：决定其形状的两个常数 δ 和 ε 只被要求“足够小”，没有给出具体数值。