YALNIZCA TEK BİR NOKTADA YUVARLAK OLAN PÜRÜZSÜZ BİR TOP

Bir top her yönde aynı biçimde bükülür. Bir rugby topunun yan yüzü öyle değildir: çevresi boyunca keskin biçimde, uzunluğu boyunca ise yalnızca hafifçe bükülür. Geometriciler bir yüzeyin her noktasında en güçlü ve en zayıf bükülmeyi not eder; bunların yönleri her zaman birbirine diktir. Bunlara iki asal eğrilik (principal curvatures) denir. Bu ikisinin eşit olduğu, yani yüzeyin her yönde aynı biçimde büküldüğü bir noktaya göbek noktası (umbilic) denir. Kusursuz bir topta her nokta bir göbek noktasıdır.

Bir göbek noktasının çevresindeki dönüşleri saymak

Göbek noktalarından uzakta, en güçlü ve en zayıf bükülme yönleri yüzey boyunca, her yerde dik açıyla kesişen iki çizgi ailesi çizer. Yalıtılmış bir göbek noktasının çevresinde küçük bir halka boyunca bir kez dolaşın ve bu çizgilerden birini izleyin: çizgi döner. Yaptığı tur sayısı, göbek noktasının indeksidir. Bir çizginin oku olmadığından yarım turdan sonra kendi üzerine geri gelebilir; bu yüzden indeks 3/2 gibi buçuklu bir sayı olabilir.

Makalenin ifade ettiği biçimiyle iki sanı:

Loewner sanısı: yalıtılmış bir göbek noktasının indeksi en fazla 1’dir.
Carathéodory sanısı: sıradan üç boyutlu uzaydaki kapalı, dışbükey, düzgün bir yüzeyin (bir yumurta gibi, hiçbir kenarı olmayan ve her yerde dışa doğru şişkin pürüzsüz bir yüzey) en az iki göbek noktası vardır.

İkisi birbirine bağlı. Göbek noktaları yalıtılmış olan kapalı dışbükey bir yüzeyde indekslerin toplamı her zaman 2’dir. Hiçbiri 1’i aşamasaydı en az iki göbek noktası gerekirdi: Loewner sanısı Carathéodory sanısını gerektirirdi. Tek başına kalan bir göbek noktası 2’nin tamamını kendisi taşımak zorunda kalır ve iki sanıyı birden çürütürdü.

Ağustos’ta duyuruldu, sinüslerle yeniden kuruldu

İlk karşı örnekler bu makaleden gelmedi. Makalenin girişine göre L. Alpöge, X’te 19 Ağustos 2026 tarihli bir paylaşımda, pürüzsüz yüzeyler için her iki sanıya da “yapay zekâ yardımıyla geliştirilmiş” karşı örnekler duyurdu. Alpöge’nin yerel yapısı her pozitif tam sayı k için şimdiden 1 + k/2 indeksine ulaşıyor ve Alpöge, indeksi 2 olan tam olarak bir göbek noktasına sahip kapalı, kesin dışbükey bir yüzey bildiriyor.

Kumamoto Üniversitesi’nden Naoya Ando ve Institute of Science Tokyo’dan Masaaki Umehara, “Alpöge’nin yapısının bir varyantı aracılığıyla daha basit bir yapı” vermeyi amaçladı. Alpöge’nin başlangıç fonksiyonu, 10¹⁰ ve 100 gibi sabitler içeren fonksiyonların içinde, −1/4, 3/10 ve −1/32 katsayılı üç kosinüsü birleştiriyor. Onların “tohumu” ise şu:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, burada a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

İki değişkenli bir fonksiyonu tümsek ve çukurlardan oluşan bir arazi gibi düşünün. Tohumun tek bir özelliğe ihtiyacı var: bu arazi hiçbir yerde her yönde aynı biçimde bükülmemeli. Teknik terimlerle, izsiz Hessian’ı (trace-free Hessian), yani “her yönde aynı” kısmından arındırılmış ikinci türevler tablosu, hiçbir yerde sıfır olmuyor. Bu tohum için doğrulama üç satır tutuyor. Özellik tek bir karmaşık sayıya sığdırılmış — bir “reel” ve bir “sanal” kısımdan oluşan, ancak ikisi de sıfırsa sıfır olan bir sıradan sayı çifti: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Sanal kısmı yalnızca bir kosinüsün sıfır olduğu yerde sıfırlanıyor; orada bir sinüs ±1’e eşit, dolayısıyla reel kısmı en fazla −4. Yani bu sayı asla sıfır olmuyor.

Yazarlar, aday fonksiyonları aramaya ve metni gözden geçirmeye yardımcı olması için ChatGPT kullandıklarını ve her argümanı kendilerinin doğruladığını belirtiyor.

Sonsuz bir deseni bir noktaya katlamak

Tohum düzlem boyunca sonsuza dek tekrarlanıyor. Yazarlar onun tamamını minicik bir diske sıkıştırıyor: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)); burada z, tek bir karmaşık sayı olarak yazılmış düzlemdeki bir nokta, k ise yazarların serbestçe seçebildiği pozitif bir tam sayı. Bu yerine koyma, düzlemin uzak bölgelerini merkeze doğru gönderiyor; böylece sinüs deseni merkezin çevresinde giderek sıkışan halkalar halinde birikiyor. Üstel çarpan her şeyi eziyor: merkezde fonksiyon ve tüm türevleri sıfır. Matematikçiler böyle bir fonksiyona düz (flat) fonksiyon der.

Bu merkezin çevresinde arazinin en güçlü bükülme yönleri 1 + k/2 tur dönüyor: k = 1 için 3/2, k = 2 için 2, k = 3 için 5/2; üst sınır yok (Teorem 1.3). Aynı iki yazar daha önce Fujiyama ile birlikte, göbek noktasında yalnızca C¹, yani bir kez türevlenebilir olan örneklerle keyfî büyüklükte indekslere ulaşmıştı; bu yeni örnekler ise pürüzsüz.

Bir araziyi bir yüzeye dönüştürmek için yazarlar bir destek fonksiyonu (support function) kullanıyor: bu fonksiyon her yön için, bir merkezden yüzeye o tarafta değen düz düzleme olan uzaklığı veriyor; bir çakıl taşına bastırılan bir cetvel gibi. Sabit bir destek fonksiyonu bir küreyi tanımlar. Bu sabite arazinin küçük bir katını eklemek, göbek noktaları ve indeksleri arazininkilerle örtüşen bir yüzey verir. Bu klasik bir eşleşme; makale yalnızca kapalı yüzey için ihtiyaç duyduğu kısmı kanıtlıyor ve gerisi için kaynak gösteriyor. Sonuç: her k için 1 + k/2 indeksli göbek noktaları taşıyan küçük pürüzsüz yüzey parçaları; dolayısıyla indeksin bir tavanı yok. Aynı şey, Pisagor’un uzaklık formülünde üç koordinat farkından birinin karesinin eklenmek yerine çıkarıldığı Lorentz–Minkowski uzayındaki bir yüzey sınıfı için de geçerli.

Tek göbek noktası kuzey kutbunda

Kapalı yüzey için tohumun sonsuz düzlemi, tersine çalıştırılan bir harita izdüşümü gibi bir kürenin üzerine sarılıyor: tüm uzak bölgelerinin buluştuğu kuzey kutbu dışında her noktayı kaplıyor. Tohum bu kez başka bir biçimde sönümlendiriliyor; böylece o düzlemin merkezine olan uzaklığın herhangi bir kuvvetinden daha hızlı sönüyor ve onun küçük bir ε katı kürenin destek fonksiyonuna ekleniyor. ε yeterince küçükse sonuç kapalı, neredeyse yuvarlak, kesin dışbükey bir yüzey: her yerde dışa doğru şişkin. Biri dışında her noktada tohumun özelliği bir göbek noktasını dışlıyor. İstisna kuzey kutbu, N = (0, 0, 1): orada destek fonksiyonu her türevde kürenin destek fonksiyonuyla örtüşüyor, dolayısıyla N bir göbek noktası, hem de tek göbek noktası (Teorem 2.2). İndekslerin toplamı 2 olmak zorunda olduğundan indeksi 2. Tek göbek noktası: Carathéodory sanısı çöküyor. İndeks 2, yani 1’den fazla: Loewner sanısı da çöküyor.

Pürüzsüz, ama analitik değil

Makaledeki her yüzey sonsuz kez türevlenebilir, yani “pürüzsüz”. Yazarlar, sıradan uzaydaki yüzeylerinin reel analitik olmadığını belirtiyor; bu, her noktanın yakınında biçimin kuvvetlerin sonsuz bir toplamıyla tam olarak verildiği, daha katı bir pürüzsüzlük türü. Makale, analitik yüzeylerin tek bir göbek noktasına sahip olup olamayacağı hakkında hiçbir şey söylemiyor. Kendisini, indeksi 2 olan göbek noktası ve Carathéodory sanısına karşı örnek bakımından kendi içinde eksiksiz olarak tanımlıyor. Ve yüzeyin hiçbir resmini içermiyor: onu biçimlendiren iki sabit, δ ve ε, yalnızca “yeterince küçük” olmak zorunda ve hiçbir değer verilmiyor.