ГЛАДКИЙ ШАР, КРУГЛЫЙ ЛИШЬ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

Шар изгибается одинаково во всех направлениях. Бок мяча для регби — нет: вокруг своего обхвата он изогнут круто, а вдоль длины — лишь слегка. В каждой точке поверхности геометры отмечают наибольший и наименьший изгиб, направления которых всегда перпендикулярны друг другу; это две главные кривизны. Точку, где они равны, то есть где поверхность изгибается одинаково во всех направлениях, называют омбилической точкой (омбиликой). На идеальном шаре такова каждая точка.

Считаем обороты вокруг омбилической точки

Вдали от омбилических точек направления наибольшего и наименьшего изгиба прочерчивают на поверхности два семейства линий, везде пересекающихся под прямым углом. Обойдите изолированную омбилическую точку один раз по маленькой петле, следя за одной из этих линий: она поворачивается. Число сделанных ею оборотов — это индекс омбилической точки. Поскольку у линии нет стрелки, она может совпасть сама с собой уже через пол-оборота, так что индекс может быть полуцелым, например 3/2.

Две гипотезы в той формулировке, которую приводит статья:

• Гипотеза Лёвнера: индекс изолированной омбилической точки не больше 1.
• Гипотеза Каратеодори: у замкнутой выпуклой регулярной поверхности (гладкой поверхности без рёбер, которая везде выгнута наружу, как яйцо) в обычном трёхмерном пространстве есть по меньшей мере две омбилические точки.

Эти гипотезы связаны. На замкнутой выпуклой поверхности с изолированными омбилическими точками сумма индексов всегда равна 2. Если бы ни один индекс не мог превышать 1, понадобились бы по меньшей мере две омбилические точки: гипотеза Лёвнера влекла бы гипотезу Каратеодори. Одинокой омбилической точке пришлось бы нести всю двойку в одиночку — и опровергнуть обе.

Объявлено в августе, перестроено из синусов

Первые контрпримеры появились не в этой статье. Как сказано во введении, Л. Алпёге (L. Alpöge) объявил о контрпримерах к обеим гипотезам для гладких поверхностей, «разработанных с помощью ИИ», в посте в X от 19 августа 2026 года. Локальная конструкция Алпёге уже достигает индекса 1 + k/2 для любого целого положительного k, а ещё Алпёге сообщает о замкнутой строго выпуклой поверхности ровно с одной омбилической точкой индекса 2.

Наоя Андо (Naoya Ando) из Университета Кумамото и Масааки Умэхара (Masaaki Umehara) из Института науки Токио (Institute of Science Tokyo) поставили цель дать «более простую конструкцию через вариант конструкции Алпёге». Исходная функция Алпёге сочетает три косинуса с коэффициентами −1/4, 3/10 и −1/32 внутри функций с такими константами, как 10¹⁰ и 100. Их «зерно» выглядит так:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, где a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

Представьте функцию двух переменных как рельеф из бугров и впадин. От зерна требуется одно свойство: нигде этот рельеф не должен изгибаться одинаково во всех направлениях. Технически говоря, его бесследовый гессиан — таблица вторых производных, из которой убрана часть «одинаково во всех направлениях», — нигде не обращается в нуль. Для этого зерна проверка занимает три строки. Свойство упаковывается в одно комплексное число — пару обычных чисел, «действительную» и «мнимую» части; оно равно нулю, только если равны нулю обе: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Его мнимая часть обращается в нуль только там, где обращается в нуль косинус; там синус равен ±1, поэтому его действительная часть не больше −4. Значит, оно никогда не равно нулю.

Авторы указывают, что использовали ChatGPT для поиска функций-кандидатов и для правки текста и что все рассуждения проверили сами.

Как свернуть бесконечный узор в точку

Зерно бесконечно повторяется по всей плоскости. Авторы сжимают его целиком в крошечный диск: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), где z — точка плоскости, записанная одним комплексным числом, а k — целое положительное число, которое авторы выбирают по своему усмотрению. Эта подстановка отправляет дальние области плоскости к центру, так что синусоидальный узор нагромождается вокруг него во всё более тесные кольца. Экспоненциальный множитель всё подавляет: в центре сама функция и все её производные равны нулю. Математики называют такую функцию плоской.

Вокруг этого центра направления наибольшего изгиба такого рельефа делают 1 + k/2 оборота: 3/2 при k = 1, 2 при k = 2, 5/2 при k = 3, без какого-либо верхнего предела (теорема 1.3). Вместе с Фудзиямой (Fujiyama) те же два автора ранее достигали сколь угодно больших индексов на примерах, которые в омбилической точке лишь класса C¹, то есть один раз дифференцируемы; новые же примеры гладкие.

Чтобы превратить рельеф в поверхность, авторы используют опорную функцию: для каждого направления она даёт расстояние от центра до плоскости, касающейся поверхности с этой стороны, — как линейка, прижатая к гальке. Постоянная опорная функция описывает сферу. Если прибавить к этой константе малое кратное рельефа, получится поверхность, омбилические точки и индексы которой совпадают с таковыми у рельефа. Это классическое соответствие; статья доказывает лишь ту его часть, которая нужна для замкнутой поверхности, а на остальное ссылается. Результат: маленькие куски гладкой поверхности с омбилическими точками индекса 1 + k/2 для любого k, так что у индекса нет потолка. То же верно для одного класса поверхностей в пространстве Лоренца–Минковского, где в формуле Пифагора для расстояния квадрат одной из трёх разностей координат вычитается, а не прибавляется.

Единственная омбилическая точка — на северном полюсе

Для замкнутой поверхности бесконечную плоскость зерна оборачивают вокруг сферы — как картографическую проекцию, проделанную в обратную сторону: она покрывает все точки, кроме северного полюса, где сходятся все её дальние области. Зерно гасят другим способом, так что оно убывает быстрее любой степени расстояния от центра этой плоскости, и малое кратное ε этого зерна прибавляют к опорной функции этой сферы. При достаточно малом ε получается замкнутая, почти круглая, строго выпуклая поверхность: она везде выгнута наружу. Во всех точках, кроме одной, свойство зерна исключает омбилическую точку. Исключение — северный полюс, N = (0, 0, 1): там опорная функция совпадает с опорной функцией сферы во всех производных, так что N — омбилическая точка, причём единственная (теорема 2.2). Поскольку сумма индексов должна равняться 2, её индекс равен 2. Одна омбилическая точка: гипотеза Каратеодори опровергнута. Индекс 2, больше 1: гипотеза Лёвнера тоже.

Гладкая, но не аналитическая

Все поверхности в статье бесконечно дифференцируемы, то есть «гладкие». Авторы уточняют, что их поверхности в обычном пространстве не являются вещественно-аналитическими — это более строгий вид гладкости, при котором вблизи каждой точки форма в точности задаётся бесконечной суммой степеней. Статья ничего не говорит о том, может ли у аналитической поверхности быть единственная омбилическая точка. Она характеризует себя как замкнутую в себе (self-contained) в части омбилической точки индекса 2 и контрпримера к гипотезе Каратеодори. И в ней нет ни одного изображения поверхности: от двух констант, задающих её форму, δ и ε, требуется лишь быть «достаточно малыми», а конкретные значения не приводятся.