The Knowledge Frontier

MathematikPreprintTheorie5 Min. Lesezeit

EINE GLATTE KUGEL, DIE NUR AN EINEM EINZIGEN PUNKT RUND IST

Eine Kugel krümmt sich in jede Richtung gleich. Die Seite eines Rugbyballs nicht: Sie biegt sich stark um ihren Umfang und nur sanft entlang ihrer Länge. An jedem Punkt einer Fläche notieren Geometer die stärkste und die schwächste Biegung, deren Richtungen stets im rechten Winkel zueinander liegen; das sind die beiden Hauptkrümmungen. Ein Punkt, an dem sie gleich sind, an dem sich die Fläche in alle Richtungen gleich biegt, heißt Nabelpunkt (umbilic). Auf einer perfekten Kugel ist jeder Punkt einer.

Drehungen um einen Nabelpunkt zählen

Abseits der Nabelpunkte zeichnen die Richtungen stärkster und schwächster Biegung zwei Linienscharen über die Fläche, die sich überall im rechten Winkel kreuzen. Geht man auf einer kleinen Schleife einmal um einen isolierten Nabelpunkt herum und folgt einer dieser Linien, dreht sie sich. Die Zahl ihrer Umdrehungen ist der Index des Nabelpunkts. Weil eine Linie keinen Pfeil hat, kann sie schon nach einer halben Drehung wieder auf sich selbst fallen, sodass der Index eine halbe Zahl wie 3/2 sein kann.

Zwei Vermutungen, so wie die Arbeit sie formuliert:

  • Loewnersche Vermutung: Der Index eines isolierten Nabelpunkts ist höchstens 1.
  • Carathéodorysche Vermutung: Eine geschlossene konvexe reguläre Fläche (eine glatte Fläche ohne Kante, die sich überall nach außen wölbt, wie ein Ei) im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum hat mindestens zwei Nabelpunkte.

Die beiden hängen zusammen. Auf einer geschlossenen konvexen Fläche mit isolierten Nabelpunkten summieren sich die Indizes immer zu 2. Könnte keiner 1 übersteigen, bräuchte es mindestens zwei Nabelpunkte: Die Loewnersche Vermutung würde die Carathéodorysche nach sich ziehen. Ein einzelner Nabelpunkt müsste die ganze 2 allein tragen – und würde beide widerlegen.

Im August angekündigt, aus Sinusfunktionen neu gebaut

Die ersten Gegenbeispiele stammen nicht aus dieser Arbeit. Laut ihrer Einleitung kündigte L. Alpöge in einem Beitrag auf X vom 19. August 2026 Gegenbeispiele zu beiden Vermutungen für glatte Flächen an, „mit Hilfe von KI entwickelt“. Alpöges lokale Konstruktion erreicht bereits einen Index von 1 + k/2 für jede positive ganze Zahl k, und Alpöge berichtet von einer geschlossenen, streng konvexen Fläche mit genau einem Nabelpunkt vom Index 2.

Naoya Ando von der Universität Kumamoto und Masaaki Umehara vom Institute of Science Tokyo machten sich daran, „eine einfachere Konstruktion durch eine Variante von Alpöges Konstruktion“ zu liefern. Alpöges Ausgangsfunktion kombiniert drei Kosinusterme mit den Koeffizienten −1/4, 3/10 und −1/32, eingebettet in Funktionen mit Konstanten wie 10¹⁰ und 100. Ihr „Keim“ lautet:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, mit a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

Man stelle sich eine Funktion zweier Variablen als Landschaft aus Hügeln und Mulden vor. Der Keim braucht eine Eigenschaft: Nirgends darf sich diese Landschaft in alle Richtungen gleich biegen. Fachlich gesagt verschwindet ihre spurfreie Hesse-Matrix, die Tabelle der zweiten Ableitungen ohne ihren „in jeder Richtung gleichen“ Anteil, nirgends. Für diesen Keim braucht die Prüfung drei Zeilen. Die Eigenschaft steckt in einer einzigen komplexen Zahl – einem Paar gewöhnlicher Zahlen, einem „Realteil“ und einem „Imaginärteil“, das nur dann null ist, wenn beide es sind: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Ihr Imaginärteil verschwindet nur dort, wo ein Kosinus verschwindet; dort ist ein Sinus gleich ±1, also ist ihr Realteil höchstens −4. Sie ist also nie null.

Die Autoren geben an, ChatGPT bei der Suche nach geeigneten Funktionen und bei der Überarbeitung des Textes genutzt und jedes Argument selbst überprüft zu haben.

Ein endloses Muster in einen Punkt falten

Der Keim wiederholt sich endlos über die Ebene. Die Autoren quetschen ihn ganz in eine winzige Scheibe: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), wobei z ein Punkt der Ebene ist, geschrieben als eine einzige komplexe Zahl, und k eine positive ganze Zahl, die die Autoren frei wählen können. Die Substitution schickt die fernen Weiten der Ebene in Richtung Mittelpunkt, sodass sich das Sinusmuster in immer engeren Ringen um ihn auftürmt. Der Exponentialfaktor drückt alles platt: Im Mittelpunkt sind die Funktion und alle ihre Ableitungen null. Mathematiker nennen eine solche Funktion flach.

Um diesen Mittelpunkt drehen sich die Richtungen stärkster Biegung dieser Landschaft 1 + k/2-mal: 3/2 für k = 1, 2 für k = 2, 5/2 für k = 3, ohne obere Grenze (Satz 1.3). Gemeinsam mit Fujiyama hatten dieselben beiden Autoren früher beliebig große Indizes erreicht, mit Beispielen, die am Nabelpunkt nur C¹ sind, also einmal differenzierbar; die neuen sind glatt.

Um aus einer Landschaft eine Fläche zu machen, nutzen die Autoren eine Stützfunktion: Für jede Richtung gibt sie den Abstand von einem Zentrum zu der flachen Ebene an, die die Fläche auf dieser Seite berührt – wie ein Lineal, das man gegen einen Kieselstein drückt. Eine konstante Stützfunktion beschreibt eine Kugel. Addiert man ein kleines Vielfaches der Landschaft zu dieser Konstante, erhält man eine Fläche, deren Nabelpunkte und Indizes denen der Landschaft entsprechen. Das ist eine klassische Entsprechung; die Arbeit beweist nur den Teil, den sie für die geschlossene Fläche braucht, und zitiert den Rest. Ergebnis: kleine Stücke glatter Fläche mit Nabelpunkten vom Index 1 + k/2 für jedes k, der Index hat also keine Obergrenze. Dasselbe gilt für eine Klasse von Flächen im Lorentz-Minkowski-Raum, in dem in der Formel des Pythagoras für den Abstand das Quadrat einer der drei Koordinatendifferenzen abgezogen statt addiert wird.

Der einzige Nabelpunkt sitzt am Nordpol

Für die geschlossene Fläche wird die endlose Ebene des Keims um eine Kugel gewickelt, wie eine rückwärts ausgeführte Kartenprojektion: Sie bedeckt jeden Punkt außer dem Nordpol, wo all ihre fernen Weiten zusammenlaufen. Der Keim wird auf andere Weise gedämpft, sodass er schneller abklingt als jede Potenz des Abstands vom Mittelpunkt dieser Ebene, und ein kleines Vielfaches ε davon wird zur Stützfunktion der Kugel addiert. Für hinreichend kleines ε ist das Ergebnis eine geschlossene, fast runde, streng konvexe Fläche: Sie wölbt sich überall nach außen. An jedem Punkt außer einem schließt die Eigenschaft des Keims einen Nabelpunkt aus. Die Ausnahme ist der Nordpol, N = (0, 0, 1): Dort stimmt die Stützfunktion in jeder Ableitung mit der der Kugel überein, also ist N ein Nabelpunkt, und zwar der einzige (Satz 2.2). Da sich die Indizes zu 2 summieren müssen, ist sein Index 2. Ein Nabelpunkt: Die Carathéodorysche Vermutung scheitert. Index 2, mehr als 1: die Loewnersche ebenso.

Glatt, aber nicht analytisch

Jede Fläche in der Arbeit ist unendlich oft differenzierbar, also „glatt“. Die Autoren präzisieren, dass ihre Flächen im gewöhnlichen Raum nicht reell-analytisch sind, eine strengere Art von Glattheit, bei der die Form in der Nähe jedes Punktes exakt durch eine unendliche Summe von Potenzen gegeben ist. Ob analytische Flächen einen einzigen Nabelpunkt haben können, dazu sagt die Arbeit nichts. Sie bezeichnet sich als in sich geschlossen, was den Nabelpunkt vom Index 2 und das Gegenbeispiel zur Carathéodoryschen Vermutung betrifft. Und sie enthält kein Bild der Fläche: Die beiden Konstanten, die sie formen, δ und ε, müssen nur „hinreichend klein“ sein, und es wird kein Wert angegeben.