UNE BALLE LISSE QUI N'EST RONDE QU'EN UN SEUL POINT

Une balle se courbe de la même façon dans toutes les directions. Pas le flanc d’un ballon de rugby : il se courbe fortement sur son tour et seulement doucement dans sa longueur. En chaque point d’une surface, les géomètres notent la courbure la plus forte et la plus faible, dont les directions sont toujours perpendiculaires ; ce sont les deux courbures principales. Un point où elles sont égales, où la surface se courbe de la même façon dans toutes les directions, s’appelle un ombilic. Sur une balle parfaite, chaque point en est un.

Compter les tours autour d’un ombilic

Loin des ombilics, les directions de plus forte et de plus faible courbure tracent sur la surface deux familles de lignes, qui se croisent partout à angle droit. Faites une fois le tour d’un ombilic isolé sur une petite boucle en suivant l’une de ces lignes : elle tourne. Le nombre de tours qu’elle fait est l’indice de l’ombilic. Comme une ligne n’a pas de flèche, elle peut revenir sur elle-même après un demi-tour : l’indice peut donc être un demi-entier, comme 3/2.

Deux conjectures, telles que l’article les énonce :

• La conjecture de Loewner : l’indice d’un ombilic isolé vaut au plus 1.
• La conjecture de Carathéodory : une surface régulière convexe fermée (une surface lisse, sans arête, bombée vers l’extérieur partout, comme un œuf) dans l’espace ordinaire à trois dimensions a au moins deux ombilics.

Les deux sont liées. Sur une surface convexe fermée dont les ombilics sont isolés, les indices s’additionnent toujours à 2. Si aucun ne pouvait dépasser 1, il faudrait au moins deux ombilics : la conjecture de Loewner entraînerait celle de Carathéodory. Un ombilic seul devrait porter à lui seul tout le 2, et les briserait toutes les deux.

Annoncé en août, reconstruit à partir de sinus

Les premiers contre-exemples ne viennent pas de cet article. D’après son introduction, L. Alpöge a annoncé des contre-exemples aux deux conjectures pour les surfaces lisses, « développés avec l’aide de l’IA », dans un message publié sur X le 19 août 2026. La construction locale d’Alpöge atteint déjà un indice de 1 + k/2 pour tout entier positif k, et Alpöge fait état d’une surface fermée, strictement convexe, avec exactement un ombilic, d’indice 2.

Naoya Ando, de l’université de Kumamoto, et Masaaki Umehara, de l’Institute of Science Tokyo, ont entrepris de donner « une construction plus simple, à travers une variante de la construction d’Alpöge ». La fonction de départ d’Alpöge combine trois cosinus de coefficients −1/4, 3/10 et −1/32, à l’intérieur de fonctions qui font intervenir des constantes comme 10¹⁰ et 100. Leur « graine » à eux est :

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, avec a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

Imaginez une fonction de deux variables comme un paysage de bosses et de creux. La graine ne demande qu’une propriété : nulle part ce paysage ne doit se courber de la même façon dans toutes les directions. En termes techniques, sa hessienne sans trace, le tableau des dérivées secondes privé de sa partie « identique dans toutes les directions », ne s’annule jamais. Pour cette graine, la vérification tient en trois lignes. La propriété se résume en un seul nombre complexe — une paire de nombres ordinaires, une partie « réelle » et une partie « imaginaire », qui n’est nulle que si les deux le sont : 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Sa partie imaginaire ne s’annule que là où un cosinus s’annule ; là, un sinus vaut ±1, donc sa partie réelle vaut au plus −4. Il n’est donc jamais nul.

Les auteurs indiquent avoir utilisé ChatGPT pour les aider à chercher des fonctions candidates et à réviser le texte, et avoir vérifié eux-mêmes chaque argument.

Replier un motif infini en un point

La graine se répète à l’infini sur tout le plan. Les auteurs la compressent tout entière dans un minuscule disque : H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), où z désigne un point du plan écrit comme un seul nombre complexe et k un entier positif que les auteurs choisissent librement. Le changement de variable envoie les confins du plan vers le centre, si bien que le motif de sinus s’entasse en anneaux de plus en plus serrés autour de lui. Le facteur exponentiel écrase tout : au centre, la fonction et toutes ses dérivées valent zéro. Les mathématiciens disent d’une telle fonction qu’elle est plate.

Autour de ce centre, les directions de plus forte courbure de ce paysage tournent 1 + k/2 fois : 3/2 pour k = 1, 2 pour k = 2, 5/2 pour k = 3, sans limite supérieure (théorème 1.3). Avec Fujiyama, les deux mêmes auteurs avaient déjà atteint des indices arbitrairement grands avec des exemples seulement C¹, une fois dérivables, à l’ombilic ; les nouveaux sont lisses.

Pour transformer un paysage en surface, les auteurs utilisent une fonction de support : pour chaque direction, elle donne la distance entre un centre et le plan qui touche la surface de ce côté, comme une règle pressée contre un galet. Une fonction de support constante décrit une sphère. Ajouter à cette constante un petit multiple du paysage donne une surface dont les ombilics et les indices sont ceux du paysage. C’est une correspondance classique ; l’article ne démontre que la partie dont il a besoin pour la surface fermée et cite le reste. Résultat : de petits morceaux de surface lisse portant des ombilics d’indice 1 + k/2 pour tout k, donc l’indice n’a pas de plafond. Il en va de même pour une classe de surfaces de l’espace de Lorentz–Minkowski, où, dans la formule de Pythagore pour la distance, le carré de l’une des trois différences de coordonnées est soustrait au lieu d’être ajouté.

Le seul ombilic est au pôle Nord

Pour la surface fermée, le plan infini de la graine est enroulé sur une sphère, comme une carte projetée à l’envers : il en couvre tous les points sauf le pôle Nord, où convergent tous ses confins. La graine est amortie autrement, pour qu’elle s’efface plus vite que n’importe quelle puissance de la distance au centre de ce plan, et un petit multiple ε en est ajouté à la fonction de support de la sphère. Pour ε assez petit, on obtient une surface fermée, presque ronde, strictement convexe : elle est bombée vers l’extérieur partout. En tout point sauf un, la propriété de la graine exclut un ombilic. L’exception est le pôle Nord, N = (0, 0, 1) : là, la fonction de support coïncide avec celle de la sphère dans toutes ses dérivées, donc N est un ombilic, et le seul (théorème 2.2). Comme les indices doivent s’additionner à 2, le sien vaut 2. Un seul ombilic : la conjecture de Carathéodory tombe. Un indice de 2, plus que 1 : celle de Loewner aussi.

Lisse, mais pas analytique

Toutes les surfaces de l’article sont infiniment dérivables, ou « lisses ». Les auteurs précisent que leurs surfaces de l’espace ordinaire ne sont pas analytiques réelles, une régularité plus stricte où, près de chaque point, la forme est donnée exactement par une somme infinie de puissances. L’article ne dit rien de la possibilité, pour des surfaces analytiques, de n’avoir qu’un seul ombilic. Il se présente comme autonome pour l’ombilic d’indice 2 et le contre-exemple à la conjecture de Carathéodory. Et il ne contient aucune image de la surface : les deux constantes qui la façonnent, δ et ε, doivent seulement être « suffisamment petites », et aucune valeur n’est donnée.