丸いのはたった一点だけ、なめらかな球
ボールはどの方向にも同じように曲がっている。ラグビーボールの側面はそうではなく、胴回りの方向には鋭く曲がるが、長さの方向にはゆるやかにしか曲がらない。幾何学者は、曲面の各点で最も強い曲がりと最も弱い曲がりに注目する。この2つの方向は常に互いに直角をなす。これらが2つの主曲率である。両者が等しい点、つまり曲面があらゆる方向に同じように曲がっている点は臍点（さいてん）と呼ばれる。完全な球面では、すべての点が臍点である。
臍点の周りで回転を数える
臍点から離れたところでは、最も強く曲がる方向と最も弱く曲がる方向が、曲面上に2つの線の族を描き、それらはいたるところで直角に交わる。孤立した臍点の周りを小さな輪に沿って1周し、これらの線の1本をたどってみよう。線は回転する。その回転数が臍点の指数である。線には矢印がないので、半回転しただけで自分自身に重なって戻ってくることがある。そのため、指数は3/2のような半整数になりうる。
論文の述べ方に従えば、2つの予想は次のとおりだ。
- レーヴナー予想：孤立した臍点の指数は高々1である。
- カラテオドリ予想：通常の3次元空間内の閉じた凸正則曲面（卵のように、どこでも外側にふくらんだ、角のないなめらかな曲面）は、少なくとも2つの臍点をもつ。
2つの予想はつながっている。臍点が孤立している閉じた凸曲面では、指数を足すと必ず2になる。どの指数も1を超えられないなら、少なくとも2つの臍点が必要になる。つまり、レーヴナー予想からカラテオドリ予想が導かれる。臍点がただ1つなら、その1つだけで2をまるごと担わなければならず、両方の予想を破ることになる。
8月に発表され、サインから組み直された
最初の反例はこの論文から生まれたものではない。論文の序論によれば、L. Alpögeが2026年8月19日付のXへの投稿で、なめらかな曲面について両方の予想の反例を「AIの助けを借りて開発した」と発表した。Alpögeの局所的な構成はすでに、すべての正の整数kについて1 + k/2という指数に到達しており、さらにAlpögeは、指数2の臍点をちょうど1つだけもつ、閉じた狭義凸曲面を報告している。
熊本大学のNaoya Andoと東京科学大学のMasaaki Umeharaは、「Alpögeの構成の変形による、より単純な構成」を与えることを目指した。Alpögeの出発点となる関数は、係数−1/4、3/10、−1/32をもつ3つのコサインを組み合わせたもので、10¹⁰や100といった定数を含む関数の内側に置かれている。2人の「種」は次のものだ。
F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y、ただしa(t) = sin⁴t + 3 sin²t
2変数関数を、こぶとくぼみのある地形として思い描いてほしい。種に必要な性質は1つだけである。この地形が、どこにおいても、あらゆる方向に同じように曲がってはならない。専門用語で言えば、そのトレースフリーなヘッセ行列、つまり2階導関数の表から「どの方向にも同じ」部分を取り除いたものが、決してゼロにならない。この種の場合、その確認は3行ですむ。この性質は1つの複素数に詰め込まれる。複素数とは、「実部」と「虚部」という2つの通常の数の組で、両方がゼロのときに限りゼロになる。その複素数は12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos yである。虚部がゼロになるのはコサインのどちらかがゼロになるところだけで、そこではサインが±1に等しくなるので、実部は高々**−4**である。したがって、この数は決してゼロにならない。
著者たちは、候補となる関数の探索と文章の推敲にChatGPTの助けを借りたこと、そしてすべての議論を自分たちで検証したことを述べている。
果てしない模様を一点に折りたたむ
種は平面全体にわたって果てしなく繰り返される。著者たちはそのすべてを小さな円板の中に押し込める。H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2))。ここでzは平面上の点を1つの複素数として書いたもの、kは著者たちが自由に選べる正の整数である。この置き換えは平面のはるか遠くの部分を中心へと送るので、サインの模様は中心の周りに、どんどん詰まった輪となって積み重なる。指数関数の因子はすべてを押しつぶす。中心では、関数とそのすべての導関数がゼロになる。数学者はこのような関数を平坦と呼ぶ。
その中心の周りで、この地形の最も強く曲がる方向は1 + k/2回回転する。k = 1なら3/2、k = 2なら2、k = 3なら5/2で、上限はない（定理1.3）。同じ2人の著者はFujiyamaとともに、以前にも任意に大きな指数に到達していたが、その例は臍点においてC¹級、つまり1回微分可能であるにすぎなかった。今回の新しい例はなめらかである。
地形を曲面に変えるために、著者たちは支持関数を用いる。支持関数は、それぞれの方向について、中心から、その側で曲面に接する平面までの距離を与える。小石に定規を押し当てるようなものだ。定数の支持関数は球面を表す。その定数に地形の小さな定数倍を加えると、臍点と指数が地形のものと一致する曲面が得られる。これは古典的な対応であり、論文は閉曲面に必要な部分だけを証明し、残りは文献を引用している。その結果、すべてのkについて指数1 + k/2の臍点をもつ、なめらかな曲面の小片が得られる。したがって指数に上限はない。同じことは、ローレンツ・ミンコフスキー空間内のある種の曲面についても成り立つ。この空間では、距離を求めるピタゴラスの公式において、3つの座標の差のうち1つの2乗を、足す代わりに引く。
ただ1つの臍点は北極にある
閉曲面をつくるために、種の果てしない平面が球面に巻きつけられる。地図の投影法を逆向きにたどるようなものだ。平面は北極を除くすべての点を覆い、北極には平面のはるか遠くの部分がすべて集まる。種は別のやり方で減衰させられ、その平面の中心からの距離のどんなべき乗よりも速く消えていくようにされる。そして、その小さな定数倍εがこの球面の支持関数に加えられる。εが十分小さければ、結果は閉じた、ほぼ丸い、狭義凸の曲面になる。どこでも外側にふくらんでいるということだ。1点を除くすべての点で、種の性質が臍点の存在を排除する。例外は北極N = (0, 0, 1)である。そこでは支持関数がすべての導関数において球面のものと一致するので、Nは臍点であり、しかも唯一の臍点である（定理2.2）。指数を足すと2にならなければならないので、その指数は2である。臍点が1つなので、カラテオドリ予想は成り立たない。指数が2で1より大きいので、レーヴナー予想も成り立たない。
なめらかだが、解析的ではない
論文に出てくる曲面はどれも無限回微分可能、つまり「なめらか」である。著者たちは、通常の空間内の自分たちの曲面が実解析的ではないことを明記している。実解析的とは、もっと厳しい種類のなめらかさで、各点の近くで形がべき乗の無限和によって正確に与えられることをいう。解析的な曲面が臍点をただ1つしかもちえないかどうかについて、論文は何も述べていない。論文は、指数2の臍点とカラテオドリ予想の反例については自己完結していると自らを説明している。そして、曲面の図は1枚も含まれていない。曲面の形を決める2つの定数δとεは「十分小さい」ことが求められているだけで、値は示されていない。