একটি মসৃণ বল, যা কেবল একটি বিন্দুতেই গোল

একটি বল প্রতিটি দিকে একইভাবে বাঁকে। রাগবি বলের পাশটি তা করে না: এটি বেড় বরাবর তীক্ষ্ণভাবে বাঁকে, আর দৈর্ঘ্য বরাবর কেবল মৃদুভাবে। পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দুতে জ্যামিতিবিদেরা সবচেয়ে জোরালো ও সবচেয়ে দুর্বল বাঁকটি লক্ষ করেন, যাদের দিক সবসময় পরস্পরের সঙ্গে সমকোণে থাকে; এ দুটিই হলো প্রধান বক্রতা (principal curvatures)। যে বিন্দুতে এরা সমান, যেখানে পৃষ্ঠটি সব দিকে একইভাবে বাঁকে, তাকে বলা হয় আম্বিলিক (umbilic)। একটি নিখুঁত বলে প্রতিটি বিন্দুই আম্বিলিক।

একটি আম্বিলিকের চারপাশে পাক গোনা

আম্বিলিক থেকে দূরে, সবচেয়ে জোরালো ও সবচেয়ে দুর্বল বাঁকের দিকগুলো পৃষ্ঠজুড়ে রেখার দুটি পরিবার আঁকে, যারা সর্বত্র সমকোণে পরস্পরকে ছেদ করে। একটি বিচ্ছিন্ন আম্বিলিকের চারপাশে একটি ছোট বৃত্তপথে একবার ঘুরে আসুন, আর এই রেখাগুলোর একটিকে অনুসরণ করুন: রেখাটি ঘোরে। এটি যতগুলো পাক খায়, সেটিই আম্বিলিকের সূচক (index)। যেহেতু রেখার কোনো তীরচিহ্ন নেই, আধা পাকের পরেই এটি নিজের ওপর ফিরে আসতে পারে, তাই সূচক 3/2-এর মতো একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যাও হতে পারে।

দুটি অনুমান, গবেষণাপত্রে যেভাবে বলা হয়েছে:

• লোভনারের (Loewner) অনুমান: একটি বিচ্ছিন্ন আম্বিলিকের সূচক বড়জোর 1।
• কারাথেওডোরির (Carathéodory) অনুমান: সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি বদ্ধ উত্তল নিয়মিত পৃষ্ঠে (কিনারাহীন একটি মসৃণ পৃষ্ঠ, যা সবখানে বাইরের দিকে ফুলে থাকে, যেমন একটি ডিম) অন্তত দুটি আম্বিলিক থাকে।

দুটি পরস্পর যুক্ত। যে বদ্ধ উত্তল পৃষ্ঠের আম্বিলিকগুলো বিচ্ছিন্ন, তাতে সূচকগুলো যোগ করলে সবসময় 2 হয়। কোনোটিই যদি 1 ছাড়াতে না পারে, তবে অন্তত দুটি আম্বিলিক লাগবে: লোভনারের অনুমান কারাথেওডোরির অনুমানকে সূচিত করত। একটিমাত্র আম্বিলিককে একাই পুরো 2 বহন করতে হতো, আর তাতে দুটি অনুমানই ভেঙে যেত।

আগস্টে ঘোষিত, সাইন দিয়ে নতুন করে গড়া

প্রথম প্রতি-উদাহরণগুলো এই গবেষণাপত্র থেকে আসেনি। এর ভূমিকা অনুযায়ী, এল. আলপোগে (L. Alpöge) 19 আগস্ট 2026 তারিখের X-এ একটি পোস্টে মসৃণ পৃষ্ঠের জন্য দুটি অনুমানেরই প্রতি-উদাহরণ ঘোষণা করেন, “এআই-এর সাহায্যে গড়ে তোলা”। আলপোগের স্থানীয় নির্মাণ ইতিমধ্যেই প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য 1 + k/2 সূচকে পৌঁছায়, এবং আলপোগে ঠিক একটি আম্বিলিকসহ একটি বদ্ধ, কঠোরভাবে উত্তল পৃষ্ঠের কথাও জানিয়েছেন, যার সূচক 2।

কুমামোতো বিশ্ববিদ্যালয়ের নাওয়া আন্দো (Naoya Ando) এবং ইনস্টিটিউট অফ সায়েন্স টোকিওর মাসাআকি উমেহারা (Masaaki Umehara) চেয়েছিলেন “আলপোগের নির্মাণের একটি রূপভেদের মাধ্যমে একটি সরলতর নির্মাণ” দিতে। আলপোগের সূচনা-ফাংশন −1/4, 3/10 ও −1/32 সহগসহ তিনটি কোসাইনকে মেলায়, এমন সব ফাংশনের ভেতরে যাতে 10¹⁰ ও 100-এর মতো ধ্রুবক জড়িত। তাঁদের “বীজ” হলো:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, যেখানে a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

দুই চলকের একটি ফাংশনকে উঁচু-নিচু ঢিবি আর খাদের একটি ভূদৃশ্য হিসেবে কল্পনা করুন। বীজটির একটিমাত্র বৈশিষ্ট্য দরকার: এই ভূদৃশ্য কোথাও সব দিকে একইভাবে বাঁকতে পারবে না। প্রযুক্তিগত ভাষায়, এর ট্রেস-মুক্ত হেসিয়ান (trace-free Hessian), অর্থাৎ দ্বিতীয় অবকলজগুলোর সারণি থেকে “সব দিকে একই” অংশটি বাদ দিলে যা থাকে, তা কখনো শূন্য হয় না। এই বীজের জন্য যাচাইটি তিন লাইনের। বৈশিষ্ট্যটি একটিমাত্র জটিল সংখ্যায় গুটিয়ে রাখা যায় — দুটি সাধারণ সংখ্যার একটি জোড়া, একটি “বাস্তব” ও একটি “কাল্পনিক” অংশ, যা শূন্য হয় কেবল দুটিই শূন্য হলে: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y। এর কাল্পনিক অংশ কেবল সেখানেই শূন্য হয় যেখানে একটি কোসাইন শূন্য হয়; সেখানে একটি সাইনের মান ±1, তাই এর বাস্তব অংশ বড়জোর −4। তাই এটি কখনো শূন্য নয়।

লেখকেরা জানিয়েছেন, সম্ভাব্য ফাংশন খুঁজতে এবং লেখাটি সংশোধন করতে তাঁরা ChatGPT ব্যবহার করেছেন, আর প্রতিটি যুক্তি নিজেরাই যাচাই করেছেন।

একটি অন্তহীন নকশাকে একটি বিন্দুতে গুটিয়ে আনা

বীজটি সমতলজুড়ে অনন্তকাল পুনরাবৃত্ত হয়। লেখকেরা এর পুরোটাকে একটি ক্ষুদ্র চাকতিতে চেপে ঢোকান: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), যেখানে z হলো সমতলের একটি বিন্দু, যাকে একটিমাত্র জটিল সংখ্যা হিসেবে লেখা হয়েছে, আর k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যা লেখকেরা নিজেদের ইচ্ছামতো বেছে নিতে পারেন। এই প্রতিস্থাপন সমতলের দূরতম অঞ্চলগুলোকে কেন্দ্রের দিকে পাঠায়, ফলে সাইনের নকশা কেন্দ্রের চারপাশে ক্রমশ আঁটসাঁট বলয়ে জমা হয়। সূচকীয় গুণকটি সবকিছুকে পিষে দেয়: কেন্দ্রে ফাংশনটি ও এর সব অবকলজ শূন্য। গণিতবিদেরা এমন ফাংশনকে বলেন সমতল (flat)।

সেই কেন্দ্রের চারপাশে এই ভূদৃশ্যের সবচেয়ে জোরালো বাঁকের দিকগুলো 1 + k/2 বার পাক খায়: k = 1 হলে 3/2, k = 2 হলে 2, k = 3 হলে 5/2, কোনো ঊর্ধ্বসীমা ছাড়াই (উপপাদ্য 1.3)। ফুজিয়ামার (Fujiyama) সঙ্গে মিলে এই দুই লেখকই আগে যথেচ্ছ বড় সূচকে পৌঁছেছিলেন এমন উদাহরণ দিয়ে, যেগুলো আম্বিলিকে কেবল C¹, অর্থাৎ একবার অবকলনযোগ্য; নতুনগুলো মসৃণ।

একটি ভূদৃশ্যকে পৃষ্ঠে রূপ দিতে লেখকেরা একটি অবলম্বন ফাংশন (support function) ব্যবহার করেন: প্রতিটি দিকের জন্য এটি একটি কেন্দ্র থেকে সেই সমতল তলের দূরত্ব দেয়, যা ওই দিকে পৃষ্ঠটিকে স্পর্শ করে, যেমন একটি নুড়িপাথরের গায়ে চেপে ধরা একটি রুলার। একটি ধ্রুবক অবলম্বন ফাংশন একটি গোলক বর্ণনা করে। সেই ধ্রুবকের সঙ্গে ভূদৃশ্যের একটি ছোট গুণিতক যোগ করলে এমন একটি পৃষ্ঠ মেলে, যার আম্বিলিক ও সূচকগুলো ভূদৃশ্যের সঙ্গে মিলে যায়। এটি একটি ধ্রুপদি সম্পর্ক; গবেষণাপত্রটি বদ্ধ পৃষ্ঠের জন্য যেটুকু দরকার কেবল সেই অংশটুকু প্রমাণ করে, বাকিটা উদ্ধৃত করে। ফল: মসৃণ পৃষ্ঠের ছোট ছোট টুকরো, যারা প্রতিটি k-এর জন্য 1 + k/2 সূচকের আম্বিলিক বহন করে, ফলে সূচকের কোনো ছাদ নেই। লোরেন্টজ–মিনকোভস্কি (Lorentz–Minkowski) স্থানের এক শ্রেণির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রেও একই কথা খাটে, যেখানে দূরত্বের পিথাগোরাস সূত্রে তিনটি স্থানাঙ্ক-পার্থক্যের একটির বর্গ যোগ না করে বিয়োগ করা হয়।

একমাত্র আম্বিলিকটি বসে আছে উত্তর মেরুতে

বদ্ধ পৃষ্ঠের জন্য বীজের অসীম সমতলটিকে একটি গোলকের চারপাশে মুড়ে দেওয়া হয়, উল্টো দিকে চালানো একটি মানচিত্র-অভিক্ষেপের মতো: এটি উত্তর মেরু ছাড়া প্রতিটি বিন্দু ঢেকে দেয়, যেখানে এর সব দূরতম অঞ্চল এসে মেলে। বীজটিকে অন্যভাবে অবমন্দিত করা হয়, যাতে এটি সেই সমতলের কেন্দ্র থেকে দূরত্বের যেকোনো ঘাতের চেয়ে দ্রুত মিলিয়ে যায়, আর এর একটি ছোট গুণিতক ε সেই গোলকের অবলম্বন ফাংশনের সঙ্গে যোগ করা হয়। ε যথেষ্ট ছোট হলে ফলাফল একটি বদ্ধ, প্রায় গোল, কঠোরভাবে উত্তল পৃষ্ঠ: এটি সর্বত্র বাইরের দিকে ফুলে থাকে। একটি ছাড়া প্রতিটি বিন্দুতে বীজের বৈশিষ্ট্যটি আম্বিলিকের সম্ভাবনা বাতিল করে দেয়। ব্যতিক্রমটি হলো উত্তর মেরু, N = (0, 0, 1): সেখানে অবলম্বন ফাংশনটি প্রতিটি অবকলজে গোলকেরটির সঙ্গে মিলে যায়, তাই N একটি আম্বিলিক, এবং একমাত্র আম্বিলিক (উপপাদ্য 2.2)। যেহেতু সূচকগুলোর যোগফল 2 হতেই হবে, এর সূচক 2। একটিমাত্র আম্বিলিক: কারাথেওডোরির অনুমান ব্যর্থ। সূচক 2, অর্থাৎ 1-এর বেশি: লোভনারেরটিও ব্যর্থ।

মসৃণ, কিন্তু বৈশ্লেষিক নয়

গবেষণাপত্রের প্রতিটি পৃষ্ঠ অসীমবার অবকলনযোগ্য, অর্থাৎ “মসৃণ”। লেখকেরা স্পষ্ট করেছেন যে সাধারণ স্থানে তাঁদের পৃষ্ঠগুলো বাস্তব বৈশ্লেষিক (real analytic) নয়, যা আরও কঠোর ধরনের মসৃণতা, যেখানে প্রতিটি বিন্দুর কাছে আকৃতিটি ঘাতগুলোর একটি অসীম যোগফল দিয়ে নিখুঁতভাবে দেওয়া থাকে। বৈশ্লেষিক পৃষ্ঠে একটিমাত্র আম্বিলিক থাকতে পারে কি না, সে বিষয়ে গবেষণাপত্রটি কিছুই বলে না। এটি নিজেকে সূচক-2 আম্বিলিক ও কারাথেওডোরির অনুমানের প্রতি-উদাহরণের জন্য স্বয়ংসম্পূর্ণ বলে বর্ণনা করে। আর এতে পৃষ্ঠটির কোনো ছবি নেই: যে দুটি ধ্রুবক এর আকৃতি গড়ে, δ ও ε, সেগুলোকে কেবল “যথেষ্ট ছোট” হতে হবে, আর কোনো মান দেওয়া হয়নি।