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UMA BOLA LISA QUE SÓ É REDONDA EM UM ÚNICO PONTO

Uma bola se curva da mesma forma em todas as direções. A lateral de uma bola de rúgbi, não: ela se curva muito ao redor da sua circunferência e só um pouco ao longo do seu comprimento. Em cada ponto de uma superfície, os geômetras anotam a curvatura mais forte e a mais fraca, cujas direções sempre ficam em ângulo reto uma em relação à outra; são as duas curvaturas principais. Um ponto onde elas são iguais, onde a superfície se curva da mesma forma em todas as direções, chama-se umbílico. Numa bola perfeita, todo ponto é um umbílico.

Contando voltas em torno de um umbílico

Longe dos umbílicos, as direções de curvatura mais forte e mais fraca desenham duas famílias de linhas sobre a superfície, que se cruzam em ângulo reto em toda parte. Dê uma volta em torno de um umbílico isolado ao longo de um pequeno laço e acompanhe uma dessas linhas: ela gira. O número de voltas que ela dá é o índice do umbílico. Como uma linha não tem seta, ela pode coincidir consigo mesma depois de meia volta, então o índice pode ser um semi-inteiro, como 3/2.

As duas conjecturas, tal como o artigo as enuncia:

  • Conjectura de Loewner: o índice de um umbílico isolado é no máximo 1.
  • Conjectura de Carathéodory: uma superfície regular convexa fechada (uma superfície lisa, sem arestas, abaulada para fora em toda parte, como um ovo) no espaço tridimensional comum tem pelo menos dois umbílicos.

As duas estão ligadas. Numa superfície convexa fechada cujos umbílicos são isolados, os índices sempre somam 2. Se nenhum pudesse passar de 1, seriam necessários pelo menos dois umbílicos: a conjectura de Loewner implicaria a de Carathéodory. Um umbílico solitário teria de carregar sozinho o 2 inteiro, e derrubaria as duas.

Anunciado em agosto, reconstruído a partir de senos

Os primeiros contraexemplos não vieram deste artigo. Segundo sua introdução, L. Alpöge anunciou contraexemplos para as duas conjecturas no caso de superfícies lisas, “desenvolvidos com a ajuda de IA”, numa publicação no X datada de 19 de agosto de 2026. A construção local de Alpöge já atinge um índice de 1 + k/2 para todo número inteiro positivo k, e Alpöge relata uma superfície fechada, estritamente convexa, com exatamente um umbílico, de índice 2.

Naoya Ando, da Universidade de Kumamoto, e Masaaki Umehara, do Instituto de Ciência de Tóquio (Institute of Science Tokyo), propuseram-se a dar “uma construção mais simples por meio de uma variante da construção de Alpöge”. A função de partida de Alpöge combina três cossenos com coeficientes −1/4, 3/10 e −1/32, dentro de funções que envolvem constantes como 10¹⁰ e 100. A “semente” deles é:

F(x, y) = a(x) − a(y) + sin x sin y, com a(t) = sin⁴t + 3 sin²t

Imagine uma função de duas variáveis como uma paisagem de morros e depressões. A semente precisa de uma única propriedade: em nenhum lugar essa paisagem pode se curvar da mesma forma em todas as direções. Em termos técnicos, sua hessiana sem traço, a tabela das derivadas segundas despojada da sua parte “igual em todas as direções”, nunca se anula. Para essa semente, a verificação cabe em três linhas. A propriedade se resume a um único número complexo — um par de números comuns, uma parte “real” e uma parte “imaginária”, que só é zero se as duas forem: 12 − 16(sin⁴x + sin⁴y) + 2i cos x cos y. Sua parte imaginária só se anula onde um cosseno se anula; ali um seno vale ±1, então sua parte real vale no máximo −4. Logo, ele nunca é zero.

Os autores declaram que usaram o ChatGPT para ajudar a procurar funções candidatas e para revisar o texto, e que verificaram eles mesmos cada argumento.

Dobrando um padrão infinito num ponto

A semente se repete indefinidamente pelo plano. Os autores comprimem tudo isso num disco minúsculo: H_k(z) = exp(−|z|^(−k/4)) F(z^(−k/2)), em que z é um ponto do plano escrito como um único número complexo e k um número inteiro positivo que os autores podem escolher livremente. A substituição leva as regiões distantes do plano para o centro, de modo que o padrão de senos se acumula em anéis cada vez mais apertados em volta dele. O fator exponencial esmaga tudo: no centro, a função e todas as suas derivadas são zero. Os matemáticos chamam uma função assim de plana (flat).

Em torno desse centro, as direções de curvatura mais forte dessa paisagem giram 1 + k/2 vezes: 3/2 para k = 1, 2 para k = 2, 5/2 para k = 3, sem limite superior (Teorema 1.3). Com Fujiyama, os mesmos dois autores já tinham alcançado índices arbitrariamente grandes com exemplos que são apenas C¹, uma vez diferenciáveis, no umbílico; estes novos são lisos.

Para transformar uma paisagem numa superfície, os autores usam uma função suporte: para cada direção, ela dá a distância de um centro até o plano que toca a superfície daquele lado, como uma régua encostada num seixo. Uma função suporte constante descreve uma esfera. Somar a essa constante um pequeno múltiplo da paisagem dá uma superfície cujos umbílicos e índices coincidem com os da paisagem. É uma correspondência clássica; o artigo demonstra apenas a parte de que precisa para a superfície fechada e cita o resto. Resultado: pequenos pedaços de superfície lisa com umbílicos de índice 1 + k/2 para todo k, de modo que o índice não tem teto. O mesmo vale para uma classe de superfícies no espaço de Lorentz–Minkowski, onde, na fórmula de Pitágoras para a distância, o quadrado de uma das três diferenças de coordenadas é subtraído em vez de somado.

O único umbílico fica no polo norte

Para a superfície fechada, o plano sem fim da semente é enrolado em volta de uma esfera, como uma projeção cartográfica feita ao contrário: ele cobre todos os pontos exceto o polo norte, onde convergem todas as suas regiões distantes. A semente é amortecida de outro modo, de forma que se desvaneça mais rápido do que qualquer potência da distância ao centro desse plano, e um pequeno múltiplo ε dela é somado à função suporte da esfera. Para ε pequeno o bastante, o resultado é uma superfície fechada, quase redonda, estritamente convexa: ela é abaulada para fora em toda parte. Em todos os pontos menos um, a propriedade da semente exclui um umbílico. A exceção é o polo norte, N = (0, 0, 1): ali, a função suporte coincide com a da esfera em todas as derivadas, então N é um umbílico, e o único (Teorema 2.2). Como os índices precisam somar 2, seu índice é 2. Um só umbílico: a conjectura de Carathéodory cai. Índice 2, maior que 1: a de Loewner também.

Lisa, mas não analítica

Todas as superfícies do artigo são infinitamente diferenciáveis, ou “lisas”. Os autores especificam que suas superfícies no espaço comum não são analíticas reais, um tipo mais estrito de suavidade em que, perto de cada ponto, a forma é dada exatamente por uma soma infinita de potências. O artigo não diz nada sobre a possibilidade de superfícies analíticas terem um único umbílico. Ele se apresenta como autocontido no que diz respeito ao umbílico de índice 2 e ao contraexemplo à conjectura de Carathéodory. E não contém nenhuma imagem da superfície: das duas constantes que lhe dão forma, δ e ε, exige-se apenas que sejam “suficientemente pequenas”, e nenhum valor é dado.