رقم قياسي جديد في ضرب شبكات الأعداد

ضرب مصفوفتين — أي شبكتين من الأعداد — من أبسط العمليات في الحوسبة. وبالطريقة المدرسية، تنمو كلفة ضرب شبكتين من n في n مثل n³. وكانت خوارزمية فولكر شتراسن عام 1969 أول ما تفوّق على ذلك — “دون التكعيبية” بتعبير الورقة — ومنذ ذلك الحين يقيس الرياضيون التقدّم بعدد واحد: الأس ω (أوميغا)، وهو أصغر قوة لـn تكفي مع تزايد حجم الشبكات.

أنزله شتراسن إلى ما دون 2.81. ودفعته عقود من العمل، تسردها الورقة، إلى نحو 2.37، بخطوات تصغر باستمرار. وفي عام 2026، بلغ إميليان دوبون وزملاؤه 2.371177. والآن يبرهن رضا زاده، من شركة Matroid, Inc.، أن ω < 2.37115924.

جدول يسرد السنوات والمؤلفين والحدود العليا لأس ضرب المصفوفات، من 2.807 عام 1969 إلى 2.37115924 عام 2026.

تحسينات مختارة للحدّ الأعلى لـω، من شتراسن عام 1969 حتى هذه الورقة. — الجدول 1، Zadeh (2026)، arXiv:2610.10593، CC BY 4.0.

وصفة بـ212820 إعدادًا

لا تأتي هذه الأرقام القياسية من حيلة أذكى للشبكات الصغيرة. بل تأتي من كائن جبري يُسمّى موتّر كوبرسميث–فينوغراد (Coppersmith–Winograd tensor)، يمكن تقطيعه وإعادة تركيبه، على نحو تكراري، في كثير من حواصل ضرب المصفوفات المستقلة. وطريقة تقطيعه تحكمها مجموعة هائلة من الخيارات: توزيعات احتمالية، وعقوبات إنتروبيا، وأحجام مصفوفات تُعرَّف مستوى بعد مستوى. وأي مجموعة صالحة من الخيارات تعطي حدًّا صالحًا؛ والبراعة في العثور على مجموعة جيدة.

بالبناء على إطار جوش ألمان وزملائه وعلى صياغة دوبون وزملائه، ضبط زاده 212820 عددًا دفعة واحدة، مع ثلاثة تحسينات:

إعادة القياس حسب الأهمية. بعض أجزاء البناء لا تظهر إلا نادرًا، فيكون أثرها في النتيجة ضئيلًا جدًا، وبالكاد يحرّكها المُحسِّن. فأُعيد قياس كل عدد بحسب الوزن الذي يحمله جزؤه.
ستة مقابض لنقاط الاختناق. يحدّد الأسَّ النهائي أضعفُ ثلاث كميات متنافسة في ثلاث مراحل. واستخدم تصحيح منفصل ستة متحكّمات فقط لإبقائها متوازنة.
تصدير دقيق. حُوّلت الوصفة النهائية إلى كسور دقيقة مقاماتها 2⁹⁶.

البرهان بالتحقق

هذا الحدّ برهان بمساعدة الحاسوب. فبرنامج قصير لا يستخدم سوى المكتبة القياسية للغة Python — بلا شبكة، ولا نموذج، ولا حزمة إضافية — يعيد بناء كل توزيع من الكسور الدقيقة ويحسب النتيجة بتقريب مضمون. ويجد أن الكمية الأساسية موجبة، بنحو 8.5 أجزاء من المليار، وهو ما يبرهن الحدّ. ويشدّد المؤلف على ما لا يغطيه ذلك: فالبرنامج شيفرة قابلة للتدقيق، وليس صياغة صورية للنظرية كلها في مساعد براهين، والبحث كان محليًا، دون ادعاء بأن الوصفة هي الأفضل الممكنة.

ويكتب المؤلف أيضًا أن أدوات ذكاء اصطناعي توليدي، لم تُسمَّ، ساعدت في الاستكشاف العددي والبرمجيات والمخطوطة، وأن الشيفرة الأولى استندت إلى ملاحظات حسابية نشرها إريك ناسلوند علنًا. وكانت شهادة حاسوبية عامة مستقلة، صدرت في 5 أكتوبر 2026، قد بلغت 2.371169353؛ والقيمة الجديدة أدنى منها.

أسرع، نظريًا

المكسب مقارنةً بدوبون وزملائه هو 0.00001776 في الأس. وكسائر الحدود التي يُتوصَّل إليها بهذه الطريقة، فالضمان مقارب: إذ لا يقول الأس وحده بدءًا من أي حجم للمصفوفات ستتفوّق الخوارزمية الجديدة فعليًا على الخوارزميات الموجودة. أما ما يغيّره فهو أفضل إجابة معروفة عن سؤال مطروح منذ عام 1969: ما السرعة التي يمكن بها، من حيث المبدأ، ضرب شبكات الأعداد؟