اعداد کے جالوں کو ضرب دینے کا نیا ریکارڈ

دو میٹرکس — یعنی اعداد کے جال — کو ضرب دینا کمپیوٹنگ کی سب سے بنیادی عملیات میں سے ایک ہے۔ اسکول والے طریقے سے n ضرب n کے دو جالوں کو ضرب دینے کی لاگت n³ کی طرح بڑھتی ہے۔ وولکر اسٹراسن کا 1969 کا الگورتھم پہلا تھا جس نے اس سے بہتر کارکردگی دکھائی — مقالے کے الفاظ میں “ذیلی مکعبی” (subcubic) — اور تب سے ریاضی دان پیش رفت کو ایک ہی عدد سے ناپتے ہیں: قوت نما ω (اومیگا)، n کی وہ سب سے چھوٹی قوت جو جالوں کے بڑھنے کے ساتھ کافی رہتی ہے۔

اسٹراسن نے اسے 2.81 سے نیچے پہنچایا۔ دہائیوں کے کام نے، جس کی فہرست مقالے میں دی گئی ہے، اسے تقریباً 2.37 تک دھکیل دیا، اور قدم چھوٹے سے چھوٹے ہوتے گئے۔ 2026 میں ایمیلیئن ڈوپونٹ اور ان کے ساتھی 2.371177 تک پہنچے۔ Matroid, Inc. کمپنی کے رضا زادہ اب ثابت کرتے ہیں کہ ω < 2.37115924۔

ω کی بالائی حد میں منتخب بہتریاں، 1969 میں اسٹراسن سے اس مقالے تک۔ — جدول 1، Zadeh (2026)، arXiv:2610.10593، CC BY 4.0۔

212,820 ترتیبات والا نسخہ

یہ ریکارڈ چھوٹے جالوں کے لیے کسی زیادہ ہوشیار ترکیب سے نہیں آتے۔ یہ ایک الجبری شے سے آتے ہیں جسے کوپر اسمتھ–وینوگراڈ ٹینسر کہتے ہیں، جسے بار بار کاٹ کر اور دوبارہ جوڑ کر بہت سے آزاد میٹرکس حاصل ضرب میں بدلا جا سکتا ہے۔ اسے کیسے کاٹا جائے، یہ انتخابات کے ایک بہت بڑے مجموعے سے طے ہوتا ہے: احتمالی تقسیمیں، اینٹروپی کے جرمانے اور میٹرکس کی جسامتیں جو درجہ بہ درجہ متعین کی جاتی ہیں۔ انتخابات کا ہر درست مجموعہ ایک درست حد دیتا ہے؛ فن ایک اچھا مجموعہ تلاش کرنے میں ہے۔

جوش آلمن اور ان کے ساتھیوں کے فریم ورک اور ڈوپونٹ اور ان کے ساتھیوں کی تشکیل پر بنیاد رکھتے ہوئے، زادہ نے تین بہتریوں کے ساتھ ایک ساتھ 212,820 اعداد کو ترتیب دیا:

• اہمیت کے لحاظ سے نئی پیمائش۔ تعمیر کے کچھ حصے صرف شاذ و نادر ظاہر ہوتے ہیں، اس لیے نتیجے پر ان کا اثر بہت معمولی ہوتا ہے اور بہتری کا الگورتھم (optimiser) انہیں مشکل ہی سے ہلاتا ہے۔ ہر عدد کو اس وزن کے مطابق نئے سرے سے ناپا گیا جو اس کا حصہ اٹھاتا ہے۔
• رکاوٹوں کے لیے چھ ڈائل۔ حتمی قوت نما تین مراحل پر تین مسابقتی مقداروں میں سے سب سے کمزور سے طے ہوتا ہے۔ ایک الگ تصحیح نے انہیں متوازن رکھنے کے لیے صرف چھ کنٹرول استعمال کیے۔
• درست برآمد۔ حتمی نسخے کو 2⁹⁶ کے نسب نما والی درست کسور میں بدل دیا گیا۔

جانچ کے ذریعے ثبوت

یہ حد کمپیوٹر کی مدد سے حاصل کردہ ایک ثبوت ہے۔ ایک مختصر پروگرام، جو صرف Python کی معیاری لائبریری استعمال کرتا ہے — نہ نیٹ ورک، نہ ماڈل، نہ کوئی اضافی پیکیج — درست کسور سے ہر تقسیم کو دوبارہ بناتا ہے اور ضمانت شدہ تقریب (rounding) کے ساتھ نتیجے کا حساب لگاتا ہے۔ وہ پاتا ہے کہ کلیدی مقدار تقریباً 8.5 اربویں حصے کے فرق سے مثبت ہے، جو حد کو ثابت کرتا ہے۔ مصنف اس بات پر زور دیتے ہیں کہ یہ کس چیز کا احاطہ نہیں کرتا: پروگرام قابلِ جانچ کوڈ ہے، کسی ثبوت معاون میں پورے نظریے کی رسمی تشکیل نہیں، اور تلاش مقامی تھی، اس دعوے کے بغیر کہ نسخہ بہترین ممکن ہے۔

مصنف یہ بھی لکھتے ہیں کہ تخلیقی مصنوعی ذہانت کے آلات نے، جن کے نام نہیں بتائے گئے، عددی کھوج، سافٹ ویئر اور مسودے میں مدد کی، اور ابتدائی کوڈ ایرک ناسلنڈ کے عوامی طور پر شیئر کیے گئے حسابی نوٹس پر مبنی تھا۔ 5 اکتوبر 2026 کو جاری ہونے والا ایک الگ عوامی کمپیوٹر سرٹیفکیٹ 2.371169353 تک پہنچا تھا؛ نئی قدر اس سے بھی کم ہے۔

نظری طور پر تیز تر

ڈوپونٹ اور ان کے ساتھیوں کے مقابلے میں قوت نما میں فائدہ 0.00001776 ہے۔ اس طرح حاصل ہونے والی تمام حدوں کی طرح یہ ضمانت بھی مقاربی ہے: صرف قوت نما یہ نہیں بتاتا کہ کس جسامت کے میٹرکس سے نیا الگورتھم واقعی موجودہ الگورتھموں کو پیچھے چھوڑ دے گا۔ یہ جو بدلتا ہے وہ 1969 سے چلے آ رہے ایک سوال کا بہترین معلوم جواب ہے — اصولی طور پر، اعداد کے جالوں کو کتنی تیزی سے ضرب دیا جا سکتا ہے؟